2024-2025学年河南省漯河市五中数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河南省漯河市五中数学高一第二学期期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过 的直线 与双曲线相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．读下面的程序框图，若输入的值为-5，则输出的结果是（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2
5．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ）
A． B． C． D．
6．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（ ）

A．，乙比甲成绩稳定
B．，甲比乙成绩稳定
C．，乙比甲成绩稳定
D．，甲比乙成绩稳定
8．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　)
A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0
9．如图，平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，则异面直线BD与CE所成的角为（　 　）

A． B． C． D．
10．无穷数列1,3,6,10，…的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等差数列满足，则__________．
12．已知是等差数列,,,则的前n项和______.
13．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．
14．已知一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________．

15．不等式的解集为_________.
16．若，则的值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知：的顶点，，．
（1）求AB边上的中线CD所在直线的方程；
（2）求的面积．
18．如图，在正方体，中，，，，，分别是棱，，，，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面将正方体分成的两部分体积之比.
19．已知关于的不等式.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当且m≠1时，求不等式的解集.
20．已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过点作圆的切线，设切点为.
（1）若点运动到处，求此时切线的方程；
（2）求满足的点的轨迹方程.
21．如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：

（1）平面；
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
分、、是直角三种情况讨论，求出点的轨迹，将问题转化为点的轨迹图形与圆的公共点个数问题，即可得出正确选项.
【详解】
①若为直角，则，设点，，，
则，即，
此时，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，
圆与圆的圆心距为，，
则圆与圆的相交，两圆的公共点个数为；
②若为直角，由于直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心到直线的距离为，则直线与圆相交，直线与圆有个公共点；
③若为直角，则直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线与圆没有公共点.
综上所述，使得为直角三角形的点的个数为.
故选：D.
本题考查符合条件的直角三角形的顶点个数，解题的关键在于将问题转化为直线与圆、圆与圆的公共点个数之和的问题，同时也考查了轨迹方程的求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.
2、B
【解析】
由题可知，直线：，设，
，得，又，
解得，所以双曲线方程为，故选B。
3、D
【解析】
设，对比得到答案.
【详解】
设 ，则

故答案为D
本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.
4、A
【解析】
直接模拟程序框图运行,即可得出结论.
【详解】
模拟程序框图的运行过程如下:
输入,进入判断结构,
则,,
输出,
故选:A.
本题主要考查程序框图,一般求输出结果时,常模拟程序运行,列表求解.
5、D
【解析】
由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．
【详解】
，如图，设是中点，则，，，∴．
故选D．

本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．
6、C
【解析】
先求出直线的斜率，再求出所求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】
由题得直线的斜率为，
所以所求的直线的斜率为，
所以所求的直线方程为即.
故选：C
本题主要考查互相垂直直线的性质，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、C
【解析】
甲的平均成绩，甲的成绩的方差；
乙的平均成绩，乙的成绩的方差.
∴，乙比甲成绩稳定.
故选C.
8、C
【解析】
设点A（3,1）关于直线的对称点为，则 ，解得 ，即，所以直线的方程为，联立 解得 ，即 ,又，所以边AC所在的直线方程为，选C.
点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。解题时要结合实际情况，准确地进行求解。
9、C
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与CE所成的角．
【详解】
∵平面ABCD⊥平面EDCF，且四边形ABCD和四边形EDCF都是正方形，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝1，则B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），E（0，0，1），
（﹣1，﹣1，0），（0，﹣1，1），
设异面直线BD与CE所成的角为θ，
则cosθ，
∴θ．
∴异面直线BD与CE所成的角为．
故选：C．

【点评】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、C
【解析】
试题分析：由累加法得:,分别相加得,
,故选C.
考点：数列的通项公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
∵是等差数列，∴，
∴．
故答案为：1．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．等差数列的性质如下：在等差数列中，，则．
12、
【解析】
由，可求得公差d，进而可求得本题答案.
【详解】
设等差数列的公差为d，由题，有，解得，
所以.
故答案为：
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式，属基础题.
13、3x＋4y－14＝0
【解析】
由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
14、
【解析】
首先根据三视图还原几何体，再计算体积即可.
【详解】
由三视图知：该几何体是以底面是直角三角形，高为的三棱锥，
直观图如图所示：

.
故答案为：
本题主要考查三视图还原直观图，同时考查了锥体的体积计算，属于简单题.
15、
【解析】
利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．
【详解】
同解于
解得或
故答案为：
本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．
16、
【解析】
把已知等式展开利用二倍角余弦公式及两角和的余弦公式，整理后两边平方求解．
【详解】
解：由，得，
，则，
两边平方得：，即．
故答案为．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）11.
【解析】
（1）直接利用已知条件求出AB边上的中点，即可求直线的方程．
（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求出及直线AB的方程，可得点C到直线AB的距离，求出三角形的面积.
【详解】
（1）∵线段AB的中点D的坐标为，
所以，由两点式方程可得，
AB边上的中线CD所在直线的方程为，
即．

（2）法1：因为，
点A到直线CD的距离是，
所以的面积是．
法2：因为，
由两点式得直线AB的方程为：，
点C到直线AB的距离是，
所以的面积是．
本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）先证明平面，再证明平面平面；（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，再求出每一部分的体积得解.
【详解】
（1）证明：在正方体中，连接.
因为，分别是，的中点，所以.
因为平面，平面，所以.
因为，所以平面，平面，
所以，同理，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面；

（2）连接，，则截面右侧的几何体为四棱锥和三棱锥，
设正方体棱长为1，
所以
，
所以平面将正方体分成的两部分体积之比为.
本题主要考查面面垂直关系的证明和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
19、（1）；（2）当时，解集为；当或时，解集为
【解析】
（1）当时，不等式是一个不含参的二次不等式，分解因式，即可求得；
（2）对参数进行分类讨论，从而确定不等式的解集.
【详解】
（1）当时，原不等式为
故其解集为
（2）令则方程两根为.
因为所以
①当即时，解集为；
②当即或时，解集为.
综上可得：①当即时，解集为；
②当即或时，解集为.
本题考查不含参二次不等式的求解，以及含参不等式的求解，属基础题.
20、（1）或； （2）.
【解析】

解: 把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，
∴圆心为C（－1,2），半径r＝2.
（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝.
∴l的方程为y－3＝（x－1），
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为或.
（2）设P（x，y），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，
|PO|2＝x2＋y2，
∵|PM|＝|PO|.
∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为.
考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程.
21、 (1)见解析.(2)见解析.
【解析】
（1）先取的中点，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据线面垂直的判定定理先证明平面，再由线面垂直的性质，即可得到.
【详解】
（1）取的中点，连接，可得，且.
平面，平面，.
又，，且，
∴四边形是平行四边形，
.又平面，平面，
平面.
（2）在中，，为的中点，
.
是正三角形，为的中点，
，.
平面，∴四边形是矩形，，
又，平面.
又平面，.
，平面.
又平面，.

本题主要考查线面平行以及线面垂直，熟记线面平行与垂线的判定定理以及性质定理即可，属于常考题型.