吉林省扶余市第一中学2025年数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

吉林省扶余市第一中学2025年数学高一下期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为
A． B． C． D．
2．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．方向上的投影为 B．
C． D．
4．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是( 　)

A． B．平面平面
C．与所成的角为45° D．平面
5．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．的值等于（　 ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
9．函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
10．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在数列中，若，则____．
12．函数（）的值域是__________.
13．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．
14．若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．
15．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________.
16．已知直线与轴、轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值和最小值之差为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，
（1）求的解析式，并求出的最大值；
（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.
18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄，（单位：千元）的数据资料，算出，附：线性回归方程，其中为样本平均值.
（1）求家庭的月储蓄 对月收入的线性回归方程 ；
（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
19．已知为等差数列，且，．
求的通项公式；
若等比数列满足，，求的前n项和公式．
20．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．

（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．
21．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额成本）
（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
计算结果.
【详解】
因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为．
本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.
2、C
【解析】
根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为，三个角分别为，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出，然后利用余弦定理得到，将表示出的代入，整理后得到关于的方程，求出方程的解得到的值，
【详解】
解：设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，
由正弦定理可得：，
，
再由余弦定理可得：
，
化简可得：，解得：或（舍去），
∴，故三角形的三边长分别为：,
故选：C.
此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题.
3、B
【解析】
试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确； B．，所以B错误；
C．，所以，所以C正确；
D．，所以．D正确．
考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．
点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．
4、B
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A.，分别为，的中点，
，又，与所成的角为，故不正确；
，，不成立，故A不正确．
B. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
垂直所在的平面，所在的平面，
，
又，平面，
又平面，平面平面，故B正确；
C. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故不正确；
，分别为，的中点，
，又，与所成的角为，故不正确；
D. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故D不正确.
故选B.
本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、D
【解析】
根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.
【详解】
由题,,因为,故.
故选：D
本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.
6、D
【解析】
利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.
【详解】
由题得原式=.
故选D
本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、D
【解析】
∵，
∴
，
，故选D.
8、B
【解析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
9、A
【解析】
作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。
【详解】
作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。
本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：
（1）定义法：即；
（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；
（3）图象法。
10、D
【解析】
先根据向量的夹角公式计算出的值，然后再根据同角的三角函数的基本关系即可求解出的值.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
本题考查坐标形式下向量的夹角计算，难度较易.注意：的夹角并不是，而应是的补角.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据递推关系式，依次求得的值.
【详解】
由于，所以，
.
故答案为：
本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.
12、
【解析】
由，根据基本不等式即可得出，然后根据对数函数的单调性即可得出，即求出原函数的值域．
【详解】
解：，
当且仅当，时取等号，
；
原函数的值域是．
故答案为：．
考查函数的值域的定义及求法，基本不等式的应用，以及对数函数的单调性，增函数的定义．
13、.
【解析】
设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】
设，，，
，
整理得，又点在直线，
直线与圆共公共点，
圆心到直线的距离，
即.
故答案为:.
本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
14、
【解析】
首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可
【详解】
根据，即，故，或，
∵在区间（且）上至少含有30个零点，
∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），
∴的最小值为，
故答案为：
本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。
15、14
【解析】
直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案.
【详解】
平均数，
方差.
故答案为：14
本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.
16、15
【解析】
解：设作出与已知直线平行且与圆相切的直线，
切点分别为，如图所示

则动点C在圆上移动时，若C与点重合时，
△ABC面积达到最小值；而C与点重合时，△ABC面积达到最大值
∵直线3x＋4y−12＝0与x轴、y轴相交于A（4，0）、B（0，3）两点
可得
∴△ABC面积的最大值和最小值之差为
，
其中分别为点、点到直线AB的距离
∵是圆（x−5）2＋（y−6）2＝9的两条平行切线与圆的切点
∴点、点到直线AB的距离之差等于圆的直径，即
因此△ABC面积的最大值和最小值之差为

故答案为：15

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.
【解析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.
【详解】
（1）
∴，
的最大值为.
（2）由（1）得，
∵，.
，
当时，即时，取最小值0.
当，即时，取最大值.
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.
18、（1）；（2）1.7
【解析】
（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y对月收入x的线性回归方程回归方程x；
（2）将x＝7代入即可预测该家庭的月储蓄．
【详解】
（1）由题意知， ，

∴
由.

故所求回归方程为
（2）将代入回归方程
可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.
本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．
19、（1）；（2）.
【解析】
设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则的通项公式可求；
求出，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解．
【详解】
为等差数列，设公差为d，
由已知可得，解得，．
；
由，，
等比数列的公比，
的前n项和公式．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题．
20、（1）3；（2）1.
【解析】
（1），．用余弦定理，即可求出；
（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
．
所以，，
因此

，
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值1．
答：两条观光线路距离之和的最大值为1千米．
本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题.
21、（1）；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.
【解析】
（1）先阅读题意，再分当时，当时，求函数解析式即可；
（2）当时，利用配方法求二次函数的最大值，当时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.
【详解】
解：（1）由已知有当时，
当时，，
即，
（2）当时，，
当时，取最大值，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
又
故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.
本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.