2024-2025学年甘肃省兰州市示范初中数学高一下期末达标检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年甘肃省兰州市示范初中数学高一下期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）

A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．4月份人均用电量不低于20度的有500人
C．4月份人均用电量为25度
D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为
2．在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．设数列满足，且，则数列中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
4．名小学生的身高（单位：cm）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( )
A．中位数、极差 B．平均数、方差
C．方差、极差 D．极差、平均数
5．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
6．直线关于直线对称的直线方程是（　　）
A． B． C． D．
7．直线经过点和，则直线的倾斜角为（　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，若，则( )

A． B． C． D．
9．已知直线，平面，给出下列命题：
①若，且，则②若，且，则
③若，且，则④若，且，则
其中正确的命题是（）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
10．在一段时间内，某种商品的价格（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表：
价格（元）
4
6
8
10
12
销售量（件）
3
5
8
9
10
若与呈线性相关关系，且解得回归直线的斜率，则的值为（ ）
A．0.2 B．-0.7 C．-0.2 D．0.7
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，则的最小值为__________．
12．已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.　
13．在△中，，，，则_________．
14．若x、y满足约束条件，则的最大值为________.
15．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．
16．函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
18．已知数列满足，令
（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
参考数据：．
20．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是.

（1）求图中m的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数（四舍五入取整数）；
（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在的人数.
分数段
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
[110，120）
x：y
1:2
2:1
6:5
1:2
1:1

21．已知是递增数列，其前项和为，，且，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设，若对于任意的，不等式
恒成立，求正整数的最大值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据频率分布直方图逐一计算分析.
【详解】
A：用电量最多的一组有：人，故正确；
B：不低于度的有：人，故正确；
C：人均用电量：，故错误；
D：用电量在的有：人，所以，故正确；
故选C.
本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值后结果相加.
2、C
【解析】
由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，关于x的方程有实数根，
则满足，解得，
所以在区间内随机取一个实数a，
使得关于x的方程有实数根的概率为.
故选：C.
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3、A
【解析】
利用累加法求得的通项公式，再根据的单调性求得最大项.
【详解】
因为
故
故
则，其最大项是的最小项的倒数，
又，当且仅当或时，取得最小值7.
故得最大项为.
故选：A.
本题考查由累加法求数列的通项公式，以及数列的单调性，属综合基础题.
4、C
【解析】
将甲、乙两组数据的极差、平均数、中位数、方差全部算出来，并进行比较，可得出答案．
【详解】
甲组数据由小到大排列依次为：、、、、，极差为，平均数为中位数为，方差为，
乙组数据由小到大排列依次为：、、、、，极差为，平均数为中位数为，方差为，
因此，两组数据相等的是极差和方差，故选C．
本题考查样本的数字特征，理解极差、平均数、中位数、方差的定义并利用相关公式进行计算是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题．
5、B
【解析】
根据正弦型函数的图象平移规律计算即可.
【详解】
.
故选：B.
本题考查三角函数图象的平移变化，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.
6、A
【解析】
所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可。
【详解】
直线与直线的交点为，则所求直线过点,
因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即.
故答案为A.
本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题。
7、D
【解析】
算出直线的斜率后可得其倾斜角.
【详解】
设直线的斜率为，且倾斜角为，则，
根据，而，故，故选D.
本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.
8、B
【解析】
∵
∴
又，∴
故选B.
9、A
【解析】
根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。
【详解】
①若，则在平面内必有一条直线使，又即，则，故正确。
②若，且，与可平行可相交，故错误
③若，即又，则，故正确
④若，且，与可平行可相交，故错误
所以①③正确，②④错误
故选A
本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题。
10、C
【解析】
由题意利用线性回归方程的性质计算可得的值.
【详解】
由于，，
由于线性回归方程过样本中心点，故：，
据此可得：.
故选C.
本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】
由题意可得：

则的最小值为.
当且仅当时等号成立.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
12、
【解析】
将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】
将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.
本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
13、
【解析】
利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.
【详解】
由余弦定理得，由于，故.
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
14、18
【解析】
先作出不等式组所表示的平面区域，再观察图像即可得解.
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
由图可得：目标函数所在直线过点时，取最大值，
即，
故答案为： .

本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.
15、
【解析】
由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．
【详解】
由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,
∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．
故答案为：2π．
本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.
16、.
【解析】
将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】
函数,周期为
本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得
，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴．
又，
∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，
∴．
（2）当为正偶数时，

．
当为正奇数时，

．
∴．
（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．
（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．
19、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多
【解析】
1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．
【详解】
（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03
这组数据的平均数
．
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
，，，
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于250克的芒果收入为（元）；
不低于250克的芒果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）．
由于，所以选择方案②获利多．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20、（1）（2）平均分为，中位数为（3）140人
【解析】
（1）由题得，解方程即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式估计这200名学生的平均分和中位数；（3）分别计算每一段的人数即得解.
【详解】
（1）由，解得.
（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为．
设中位数为,则解得
（3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，
所以英语成绩在的有140人．
本题主要考查频率分布直方图的性质，考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）（2）不存在（3）1
【解析】
（Ⅰ），得，解得，或．
由于，所以．
因为，所以.
故，
整理，得，即．
因为是递增数列，且，故，因此．
则数列是以2为首项，为公差的等差数列.
所以.………………………………………………5分
（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：
假设存在，使得，
则．
整理，得， ①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数不存在． ……………………1分
（Ⅲ），
不等式可转化为

．
设，
则

.
所以，即当增大时，也增大．
要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．
因为，所以.
即.
所以，正整数的最大值为1． ………………………………………14分