4-3--多项式的整除性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2025/7/23 周三,高等代数,一、多项式整除的概念,多项式的整除性,设,，若存在,，使,，则说,整除,，记为：,，记为：。,当,时，,称作,的因式，,称作,的倍式。,整除的基本性质,性质,1,：,否则就说,不能整除,若,2025/7/23 周三,高等代数,则,。（传递性）,证：,使,性质,2,：,若,，则 。,证：,2025/7/23 周三,高等代数,性质,3,：,若,，对 。,证：,性质,4,：,若,则对,有,性质,5,：,若,则,2025/7/23 周三,高等代数,证：,为常数。,性质,6,：,且,则,性质,7,：,带余除法定理,定理：,设,，且,则存在,使得,这里,或,2025/7/23 周三,高等代数,满足条件的,唯一确定。,商式,余式,证：先证存在性。,1,、若,则取,即知结论成立。,2,、设,对,的次数,n,，利用数学归纳法。,当,nm,时，显然取,下面讨论,的情况。,假设当次数小于,n,时，,的存在性已证,现考虑次数为,n,的情况。,，即知结论成立。,2025/7/23 周三,高等代数,令,分别是,的首项，因而多项式,的次数小于,n,或为,0,。,若,，取,若,由归纳法假设，对,有,存在，,使,其中,或者,于是,取,就有,，结论成立；,2025/7/23 周三,高等代数,其中,或者,再证唯一性。,若有,则,若,则,这与,矛盾，,故,从而,2025/7/23 周三,高等代数,推论,1,：,若,且,则,的充要条件是：,除,的余式,证：,充分性。,若,且,则有,必要性。,若,，则,例,1.3.1,设,求,除,所得的余式和商式。,2025/7/23 周三,高等代数,例：,证明,的充要条件是,证：,充分性显然。,下证必要性，,设,于是,由于 ，,故 。,多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么,问题：,数域,F,上的多项式,与,的整除性,是否会因数域的扩大而改变？,多项式的整除性不因数域的扩大而改变,2025/7/23 周三,高等代数,设,，若在,F,上,是否在,上也有,？,结论,：,设,，而,，,中，,在,则在,中也有,（多项式的整除性不因数域的扩大而改变）,证：,若,则在,中，,因此在,中，,若,则在,中有,2025/7/23 周三,高等代数,但,中的多项式,仍是,的多项式。,因而在,中，,这一等式仍然成立。,由,的唯一性知，,在,中,