4-7--特殊域上的多项式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2025/7/23 周三,高等代数,复数域和实数域上的多项式,2025/7/23 周三,高等代数,一、,C,上多项式,对于,上的多项式,，它在,F,上未必有根，,那么它在,C,上是否有根？,每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。,定理（代数基本定理）：,任何,n,（,n0,）次多项式在,C,上有,n,个根（重根按重数计算）。,定理,当,n=1,时结论显然成立。,证：,2025/7/23 周三,高等代数,假设结论对,n-1,次多项式成立，则当,是,n,次多项式时，由于,在,C,上至少有一个根，,设为,则 ，,是,C,上,n-1,次,多项式。由归纳假设知,在,C,上有,n-1,个根，,推论,1,：复数域上任一个次数大于,1,的多项式都是可约的，即,C,上不可约多项式只能是一次多项式。,推论,2,：,任一个,n,（,n0,）次多项式,在,在,C,上的根，所以,n,个根。,它们也是,在,C,上有,2025/7/23 周三,高等代数,上都能分解成一次因式的乘积，即,的标准分解式是：,其中,是不同的复数，,是自然数且,韦达定理：,设,是,的两个根，则,2025/7/23 周三,高等代数,C,上多项式的根与系数关系：,设,（,1,）,是一个,n,（,n0,）次多项式，则它在,C,中有,n,个根，记,（,2,）,比较（,1,）与（,2,）的展开式中同次项的系数，,则,为,2025/7/23 周三,高等代数,得根与系数的关系为：,如果,根与系数的关系又如何？,2025/7/23 周三,高等代数,2025/7/23 周三,高等代数,利用根与系数的关系，可以构造一个,n,次多项式，,使其恰以,为根。,例：,它以,1,和,4,为单根，,-2,为,2,重根。,求一个首项系数为,1,的,4,次多项式，使,解：设,则,2025/7/23 周三,高等代数,二、实数域上的多项式,定理：,如果,是实数系数多项式,的,与,有相同的重数。,证：设,由于,是,的根，,故有,两边取共轭复数，注意到,和,0,都是实数，,则有,可见,也是,的根。,非实复根，则,的共轭复数,也是,的根，且,2025/7/23 周三,高等代数,因此多项式：,能整除,，即存在多项式 ，,使,是实系数多项式，,故,也是实系数多项式。,若,是,的重根，由于 ，,故,必是,的根，,是实系数，故,也是,的根，,故,也是,的重根。,与,重复应用这个推理方法知,的重数相同。,2025/7/23 周三,高等代数,唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的,定理,每个次数,的实系数多项式都可,乘积。,就是一次因式子，结论成立。,若 ，,证明：,的次数作数学归纳。,对,假设对结论次数,0,）次实系数多项式,具有标准分解式：,不可约，即满足,在,R,上,2025/7/23 周三,高等代数,例：,设,是多项式,的非零根，,求以,为根的四次多项式。,解：,设,为多求多项式。,2025/7/23 周三,高等代数,2025/7/23 周三,高等代数,所求多项式是：,或,2025/7/23 周三,高等代数,有理系数多项式,2025/7/23 周三,高等代数,讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求,Q,上多项式的有理根，由于,与,在,上的可约性相同。因此讨论,在,Q,上的可约,性可转化为求整系数多项式在,Q,上的可约性。,一、整系数多项式的可约性,定义,1,（本原多项式）：,若整系数多项式,的系数互素，则称,是一个本原多项式。,例如：,本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。,是本原多项式。,2025/7/23 周三,高等代数,引理（高斯定理）：,两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。,证：,设,都是本原多项式,若,不是本原多项式，则存在素数,p,，使,由于,都是本原多,项式，故,的系数不能都被,p,整除，,的系数,也不能被,p,整除，,2025/7/23 周三,高等代数,可设,但,但,现考虑,除了,这一项外，,p,能整除其余各项，,因此,这是一个矛盾，,故,是本原多项式。,定理：,一个整系数,n,（,n0,）次多项式,在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。,2025/7/23 周三,高等代数,证：充分性显然。,下证必要性。,设,可分解成,中两个次数都小于,n,的,多项式,与,的乘积，即有,设,的系数的公分母为,m,，则,一个整系数多项式，把,是,系数的公因式,n,提出来，,是本原多项式，,即,同理，存在有理数,S,，使,也是本原多项式，,2025/7/23 周三,高等代数,于是,下证,是一个整数，,设,（,p,q,互素且,p0,），,由于,是整系数多项式，,故,p,能整除,q,与,的每一系数的乘积，,而,p,q,互素，故,p,能整除,的每一系数，,但由引理,1,知，,是本原多项式，,故,p=1,，从而,rs,是一个整数。,2025/7/23 周三,高等代数,C,上不可约多项式只能是一次，,R,上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，,Q,上不可约多项式的特征是什么？下面的,Eisenstein,的判别法回答了这个问题。,问题：,定理（,Eisenstein,判别法）：,设,是整系数多项式，,若存在素数,p,，使,则,在,Q,上不可约。,2025/7/23 周三,高等代数,证（反证法）：,若,在,Q,上可约,在,Z,上可约，,即存在：,使,其中,故,或,但两者不能同时成立。,2025/7/23 周三,高等代数,不妨设,但 。,由于 ，,由,知,的系数不能都被,p,即,但,现考虑,但,p,能整除其它项，故,与已知矛盾。,假设,是第一个不能被,p,整除的系数，,整除，,在,中不可约,在,中不可约。,2025/7/23 周三,高等代数,由,Eisenstein,判别法知，,Q,上存在任意次不可约多项式。,例：,是,Q,上不可约多项式，,p,是素数。,例,1.9.2,：,判断,在,Q,上是否可约？,解：分别取,p=2,p=3,即知。,解：取素数,p,即知。,2025/7/23 周三,高等代数,Eisenstein,是判别多项式在,Q,上不可约的充分条件，但不是必要条件。,注意,：,例：,不可约，但找不到素数,p,。,系数多项式。,特别地，若,是本原的，则,也是本原的。,推论：设,若,都是,整系数多项式，且,是本原的，则,必是整,的所有系数。）,（若不是,2025/7/23 周三,高等代数,二、整系数多项式的有理根,定理：,设,是一个整系数多项式，若有理数,是整系数,多项式,的一个根，这里,u,，,v,是互素的整数，,则,证：,（,1,）,是,的根，,有一次因式,2025/7/23 周三,高等代数,即,因为,是本原多项式,是整系数多项式，,故,是整系数多项式。,（,2,）设,是整数。,比较,两边,n,次项与常数项系数得：,2025/7/23 周三,高等代数,由定理，要求整系数多项式,的有理根，,只要求出最高次项系数的因数,以及常数项,的因数,。然后对形如,有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为,1,，则整系数多项式,f,的有理根只能是整根。,这样的,例：求,的有理根。,解：,2,的因数是,的因数是,故,可能的有理根只能是,对,用综合除法逐一检验知：,的有理根只能是 。,2025/7/23 周三,高等代数,定理：,设,是互素的整数，且,是整系数多项式,的根，则,证：由,把,代入得：,