4-5--多项式的因式分解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2025/7/23 周三,高等代数,在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？,这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。,对于,中任一个多项式,总是,的因式。,这样的因式称为平凡因式。,我们感兴趣的是，除了平凡因式外，,还有没有其他的因式？,2025/7/23 周三,高等代数,定义,设,是,中次数大于零的多项式，,若,除,F,上不可约。,平凡因式外，在,中还有,等价定义：,可分解成,中两个次数都小于,n,的多项式,的积，即,则称,在数域,F,上可约。,中一个,次多项式,如果,如果在,中，,只有平凡因式，,则称,在数域,则称,在数域,F,上可约。,其他因式，,一、不可约多项式,1,、定义,2025/7/23 周三,高等代数,由定义可得：,一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上,多项式是否可约是重点讨论对象）；,多项式的可约性与数域有关（例,在,C,上,可约，在,R,中不可约）。,零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。,性质,性质,1,不可约，则,也不可约，,若,性质,2,若,是不可约多项式，,2025/7/23 周三,高等代数,则,证：设,由,或,若,则,若,则,性质,3,：若,不可约且,则,或,证：,若,则结论成立；,若,，又,不可约。,2025/7/23 周三,高等代数,由性质,2,，,推论：,若,不可约且,则,必整除某个,二、因式分解,问题：,是否可分解为,不可约多项式的乘积？,定理：,中任一个,次多项式,都可以分解成,中不可约多项式的乘积。,2025/7/23 周三,高等代数,证（归纳法）：,n=1,时，命题显然成立。,假设命题对一切小于,n,的多项式成立，则当,时，,1,、若,不可约成立；,2,、若,可约，,由假设知,均可分解为不可约,多项式的乘积。,问题：,多项式,分解成不可约多项式的乘积,是否唯一？,2025/7/23 周三,高等代数,若,取,则,可见,分解式不唯一。,定理：,中任一个次数大于零的多项式,分解成不可约多项式的乘积：,成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两,个分解式：,若不计零次多项式的差异和因式的顺序，,分解,2025/7/23 周三,高等代数,则有,r=s,；,适当调整,的位置后，有,）,证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：,当,r=1,时，结论显然成立。,假设当,分解成,r-1,个不可约因式时结论成立，,则当,分解成,r,个因式时，有,2025/7/23 周三,高等代数,由于 ，,故存在某个,使,为方便起见不防设,就是 。,由归纳假设知，这时有,r-1=s-1,。,故,r=s,，且,三、标准（典型）分解式,在,的分解中，可以把每个不可约因式的,故,2025/7/23 周三,高等代数,首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，,并把相同的因式合并，于是，,的分解式就变成：,首项系数,为,的首一不可约多项式，,每个多项式的标准分解式是唯一的。,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项,式是否整除另一个多项式。,式。,为自然数，这种分解式称为,的标准分解,2025/7/23 周三,高等代数,利用多项式的标准分解式可以直接写出,例如：,则,虽然根据多项式的标准分解式写出,是简单的，但由于任意多项式的典型,分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法,还是采用辗转相除法。,2025/7/23 周三,高等代数,问：如何求,的标准分解式？,例,1.5.1,：,求,在,中的标准分解式。,解：,利用带余除法，知,都是,的因式，,即有 。,如何知道,是不是,的一个因式？,是,的一个因式的充要条件是,2025/7/23 周三,高等代数,例：,求,在,上的标准分解式。,解：,在,Q,上：,在,R,上：,在,C,上：,例：在,R,上分解,解：,