资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个解为x＝﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．5 D．1
3．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．菱形
4．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C' 所在的区域在1区∼4区中，则点C' 所在单位正方形的区域是（ ）
A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
5．一元二次方程x2﹣16=0的根是（ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=4，x2=﹣4
6．对于反比例函数y=（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（ ）
A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上
B．当k＞0时，y随x的增大而减小
C．过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k
D．反比例函数的图象关于直线y=﹣x成轴对称
7．一个菱形的边长为，面积为，则该菱形的两条对角线的长度之和为( )
A． B． C． D．
8．下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
9．如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
10．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
11．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且点B的坐标为（6，4），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（－2，－3）
C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．
14．在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个球，则摸到的两个球都是白球的概率是____．
15．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为_______.
16．若，且，则的值是__________．
17．如图，点在上，，则度数为_____．
18．若代数式是完全平方式，则的值为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
20．（8分）如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧分别交OA、OB于点M、N．
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；
(2)点T在左半弧上，若AT与圆弧相切，求AT的长．
(3)Q为优弧上一点，当△AOQ面积最大时，请直接写出∠BOQ的度数为 ．
21．（8分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据，，）
22．（10分）为了加强学校的体育活动，某学校计划购进甲、乙两种篮球，根据市场调研发现，如果购进甲篮球2个和乙篮球3个共需270元；购进甲篮球3个和乙篮球2个共需230元．
（1）求甲、乙两种篮球每个的售价分别是多少元？
（2）为满足开展体育活动的需求，学校计划购进甲、乙两种篮球共100个，由于购货量大，和商场协商，商场决定甲篮球以九折出售，乙篮球以八折出售，学校要求甲种篮球的数量不少于乙种篮球数量的4倍，甲种篮球的数量不多于90个，请你求出学校花最少钱的进货方案；
（3）学校又拿出省下的290元购买跳绳和毽子两种体育器材，跳绳10元一根，毽子5元一个，在把钱用尽的情况下，有多少种进货方案？
23．（10分）已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是 ．
24．（10分）如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设∆OCD的面积为S，且kS+8=0.
（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
25．（12分）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次.在1－12月份中，该公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系.
（1）求y与x函数关系式.
（2）该公司从哪个月开始“扭亏为盈”（当月盈利）? 直接写出9月份一个月内所获得的利润.
（3）在前12 个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？
26．如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选B．
考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
2、D
【分析】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得到2+m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得2+m﹣3＝0，
解得m＝1．
故选D．
本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键．
3、D
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；
故选D．
4、D
【分析】如图，连接A A'，B B'，分别作A A'，B B'的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而便可判断出点C' 位置.
【详解】
如图，连接A A'，B B'，分别作A A'，B B'的中垂线，两直线的交点O即为旋转中心，连接OC，易得旋转角为90°，从而进一步即可判断出点C' 位置.在4区.
故选：D.
本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握相关方法是解题关键.
5、D
【解析】本题考查了一元二次方程的解法，移项后即可得出答案．
【详解】解：16=x2，x=±1．故选：D
本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
6、D
【解析】分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；
详解：A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）不在其图象上，故本选项不符合题意；
B．当k＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不符合题意；
C．错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为|k|；故本选项不符合题意；
D．正确，本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7、C
【分析】如图，根据菱形的性质可得， ，，再根据菱形的面积为，可得①，由边长结合勾股定理可得②，由①②两式利用完全平方公式的变形可求得，进行求得，即可求得答案.
【详解】如图所示：
四边形是菱形，
， ，，
面积为，
①
菱形的边长为，
②，
由①②两式可得：，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为，
故选C．
本题考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8、C
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．
故选C．
此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9、B
【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.
【详解】连接OE，OF，OG，
∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
10、C
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】A、是分式方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且a≠1)．特别要注意a≠1的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
11、B
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.
【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
则平移后的抛物线的表达式为y＝.
故选B.
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键.
12、D
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选：D．
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①③④．
【解析】首先根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出b>0，根据a,b,c的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式，再根据对称性判断出②的正误；把 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
【详解】解：根据图象可得： ，
对称轴：
，
故①正确；
把 代入函数关系式
由抛物线的对称轴是直线，可得当
故②错误；
即： 故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为①③④．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．
14、.
【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下：
∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，
∴P（两个球都是白球），
故答案为：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15、
【解析】设DE=x，则OE=2x，根据矩形的性质可得OC=OD=3x，在直角三角形OEC中：可求得CE=x，即可求得x=，即DE的长为.
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴OC=AC=BD=OD
设DE=x，则OE=2x， OC=OD=3x，
∵，
∴∠OEC=90°
在直角三角形OEC中
=5
∴x=
即DE的长为.
故答案为：
本题考查的是矩形的性质及勾股定理，掌握矩形的性质并灵活的使用勾股定理是解答的关键.
16、-2
【分析】根据比例的性质得到3b=4a，结合a+b=14求得a、b的值，代入求值即可．
【详解】解：由a：b=3：4知3b=4a，
所以b=，
所以由a+b=14得到：，
解得a=1．
所以b=8，
所以a-b=1-8=-2．
故答案为：-2．
考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则ad=bc.
17、
【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可.
【详解】解：点在上， ，
．
故答案为：．
本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键.
18、
【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵代数式x2+mx+1是一个完全平方式，
∴m=±2，
故答案为：±2
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）30人；（2）.
【解析】试题分析：（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的学生人数；
（2）用列表法求出概率．
试题解析：（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的学生为人；
（2）列表：
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．
20、（1）证明见解析；（2）AT＝8；(3)170°或者10°．
【分析】（1）欲证明AP=BP′，只要证明△AOP≌△BOP′即可；
（2）在Rt△ATO中，利用勾股定理计算即可；
（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．
【详解】解：（1）证明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°
∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP即∠AOP＝∠BOP′
在△AOP与△BOP′中
，
∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP＝BP′；
（2）∵AT与弧相切，连结OT，
∴OT⊥AT
在Rt△AOT中，根据勾股定理，
AT＝
∵OA＝10，OT＝6，
∴AT＝8；
（3）解：如图，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
理由是：
当Q点在优弧MN左侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，
当Q点在优弧MN右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据数形结合进行分类讨论.
21、GH的长为10m
【分析】首先构造直角三角形，设DE=xm，则CE=（x+2）m，由三角函数得出AE和BE，由AE=BE=AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长
【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝ ，tan67°＝，
∴AE＝ ，BE＝．
∵AE﹣BE＝AB，
∴﹣＝10，即＝10，
解得：x＝8，
∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．
答：GH的长为10m．
本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于作出点E
22、（1）甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元；（2）花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个；（3）有28种进货方案．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）设学校计划购进甲种篮球m个，则学校计划购进乙种篮球（100−m）个；根据题意列不等式即可得到结论；
（3）设购买跳绳a根，毽子b个，根据题意得方程10a＋5b＝290，求得b＝58−2a＞0，解不等式即可得到结论．．
【详解】（1）设甲种篮球每个的售价为元，乙种篮球每个的售价为元．依题意，得
解得
答：甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元．
（2）设学校购进甲种篮球个，则购进乙种篮球个．
由已知，得.解得．
又，∴．
设购进甲、乙两种篮球学校花的钱为元，
则，
∴当时，取最小值，花最少钱为2990元．花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个．
（3）设购买跳绳根，毽子个，则，．
解得．
∵为正整数，
∴有28种进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答问题．
23、（1）证明见解析；（2）k≥.
【分析】（1）根据判别式的值得到△=（2m－1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+)²+，即可得出结果.
【详解】（1）证：当y=0时 x2－2mx＋m2＋m－1＝0
∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）
＝8m2－4m2－4m＋4
＝4m2－4m＋4
＝（2m－1）2 ＋3＞0
∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根
∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1图像与x轴有两个公共点
（2）解：平移后的解析式为: y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,过(0,-2),
∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+)²+,∴k≥.
本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．
24、（1）b=4(b>0) ；（2）见解析
【分析】（1）根据直线解析式求OC和OD长，依据面积公式代入即可得；
（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.
【详解】（1）∵D(0,b),C(-,0)
∴由题意得OD=b,OC= -
∴S=
∴k•()+8=0 ∴b=4(b>0)
（2）∵
∴
∴
∴
∴点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键.
25、（1） ；（2）从4月份起扭亏为盈； 9月份一个月利润为11万元 ；（3）12，17万元.
【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为，设出抛物线的顶点式，把代入即可求出的值，把的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；
（2）由图可解答；求8、9两个月份的总利润的差即为9月的利润；
（3）根据前个月内所获得的利润减去前个月内所获得的利润，即可表示出第个月内所获得的利润，为关于的一次函数，且为增函数，得到取最大为12时，把代入即可求出最多的利润．
【详解】（1）根据题意可设：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴即 ；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时y随x的增大而增大，
∴从4月份起扭亏为盈；
8月份前的总利润为：万元,
9月份前的总利润为：万元,
∴9月份一个月利润为：万元；
（3）设单月利润为W万元，
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴W随增大而增大，
∴当x＝12时，利润最大，最大利润为17万元
本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，认真审题很重要．
26、 (1)作图见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线；
（2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高 .
【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；
（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.
本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.
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