资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上
C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上
2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞ B．m＞且m≠2 C．－≤m≤2 D．＜m＜2
3．下列说法正确的是（）
A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三个点一定可以作圆
C．圆的切线垂直于圆的半径 D．每个三角形都有一个内切圆
4．已知三点、、均在双曲线上，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知x2-2x=8，则3x2-6x-18的值为（ ）
A．54 B．6 C．-10 D．-18
6．如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是( )
A． B． C． D．
7．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
9．对于二次函数y＝﹣2x2，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于直线x＝0对称
C．图象开口向上 D．无论x取何值，y的值总是负数
10．某市为了改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ( )
A．19％ B．20％ C．21％ D．22％
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程的解是_______．
12．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．
13．如图，，，，分别是正方形各边的中点，顺次连接，，，.向正方形区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是_______.
14．若如果x：y=3：1，那么x：（x-y）的值为_______.
15．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为_____．
16．连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为： ．
17．若，则_______.
18．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，港口位于港口的南偏西方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正东方向处，它沿正北方向航行到达处，侧得灯塔在北偏西方向上.求此时海轮距离港口有多远？
20．（6分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘转盘A被平均分成3等份，分别标上三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜.你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
23．（8分）解分式方程：
（1）．
（2）．
24．（8分）计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1
25．（10分）计算:
（1）（）
（2）－14 +
26．（10分）如图，是的直径，点在的延长线上，平分交于点，且的延长线，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，进而得出答案．
【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有7次正面向上；
故选：C．
本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、D
【解析】试题分析：根据题意得且△=，解得且，
设方程的两根为a、b，则=，，而，∴，即，∴m的取值范围为．故选D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
3、D
【分析】
根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断．
【详解】
A．垂直于半径且经过切点的直线是圆的切线，注意要强调“经过切点”，故本选项错误；
B．经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调“不共线”，故本选项错误；
C．圆的切线垂直于过切点的半径，注意强调“过切点”，故本选项错误；
D．每个三角形都有一个内切圆，本选项正确，
故选D．
本题考查了有关圆的切线的判定与性质，解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调．
4、B
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：∵ k=4>0，
∴函数图象在一、三象限，
∵
∴横坐标为x1，x2的在第三象限，横坐标为x3的在第一象限；
∵第三象限内点的纵坐标小于0，第一象限内点的纵坐标大于0，
∴y3最大，
∵在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴
故答案为B．
本题考查了反比例函数的增减性，对点所在不同象限分类讨论是解答本题的关键．
5、B
【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】∵x2−2x＝8，
∴3x2−1x−18＝3（x2−2x）−18＝24−18＝1．
故选：B．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
6、D
【分析】先根据抛物线平移的规律得到抛物线，通过观察图象可知，它的对称轴以及与轴的交点，利用函数图像的性质可以直接得到答案．
【详解】解：∵根据抛物线平移的规律可知，将二次函数向左平移个单位可得抛物线，如图：
∴对称轴为，与轴的交点为，
∴由图像可知关于的不等式的解集为：．
故选：D
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的平移规律、对称性，数形结合的思想，解题关键在于通过平移规律得到新的二次函数图象以及与轴的交点坐标．
7、D
【分析】根据题意可得出第二天的票房为，第三天的票房为，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为，由题意可得出，第二天的票房为，第三天的票房为，因此，．
故选：D．
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
8、D
【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．
【详解】∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选D．
本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．
9、B
【分析】根据二次函数的性质可判断A、B、C，代入x=0，可判断D.
【详解】解：∵a＝﹣2＜0，b=0，
∴二次函数图象开口向下；对称轴为x＝0；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，
故A，C错误，B正确，
当x=0时，y=0，故D错误，
故选：B.
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握基础知识是解题关键.
10、B
【解析】试题分析：设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，则过一年时间的绿地面积为1+x，过两年时间的绿地面积为（1+x）2，根据绿地面积增加44％即可列方程求解.
设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，由题意得
（1+x）2=1+44％
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍）
故选B.
考点：一元二次方程的应用
点评：提升对实际问题的理解能力是数学学习的指导思想，因而此类问题是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据提公因式法解一元二次方程直接求解即可．
【详解】
提公因式得
解得．
故答案为．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
12、（﹣2，3）．
【解析】根据坐标轴的对称性即可写出.
【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.
13、
【分析】根据三角形中位线定理判定阴影部分是正方形，然后按照概率的计算公式进行求解.
【详解】解：连接AC，BD
∵，，，分别是正方形各边的中点
∴，∠HEF=90°
∴阴影部分是正方形
设正方形边长为a,则
∴
∴向正方形区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是
故答案为：
本题考查三角形中位线定理及正方形的性质和判定以及概率的计算，掌握相关性质定理正确推理论证是本题的解题关键.
14、
【分析】根据x：y=3：1，则可设x=3a，y=a，即可计算x：（x-y）的值．
【详解】解：设x=3a，y=a，
则x：（x-y）=3a：(3a-a)=，
故答案为：．
本题考查了比的性质，解题的关键是根据已有比例关系，设出x、y的值．
15、π
【分析】根据图示知 ，所以根据弧长公式求得 的长．
【详解】根据图示知， ，
∴的长为：．
故答案为： ．
本题考查了弧长的计算公式，掌握弧长的计算方法是解题的关键．
16、1：1
【分析】证出DE、EF、DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出
，证出△DEF∽△CBA，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
∵D、E、F分别AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，
∴
∴△DEF∽△CBA，
∴△DEF的面积：△CBA的面积=（）2=．
故答案为1：1．
考点：三角形中位线定理．
17、
【分析】由题意直接根据分比性质，进行分析变形计算可得答案．
【详解】解：，
由分比性质，得.
故答案为：.
本题考查比例的性质，熟练掌握并利用分比性质是解题的关键.
18、2π．
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝，
故答案为：2π．
本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、海轮距离港口的距离为
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，设CF=x，根据正切的定义用x表示出AF，根据等腰直角三角形的性质用x表示出EF，根据三角形中位线定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解:如图，过点作于点 ．
设，表示出
利用，求出
列方程：
求出
求出
答：海轮距离港口的距离为．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20、（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价1.5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
【分析】(1) 设每次下降百分率为，，得方程，求解即可
(2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价元之间的函数关系式．即可求解．
【详解】解：（1）设每次下降百分率为，根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克涨价元，由题意得：
∵，开口向下，有最大值，
∴当（元）时，（元）
答：每千克水果应涨价1．5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案
21、（1）；（2）PG=；（3）存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．
【解析】试题分析：（1）将A（1，1），B（1，4）代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
（2）由E（m，1），B（1，4），得出P（m，），G（m，4），则由可用含m的代数式表示PG的长度.
（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，1），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜1．分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．
试题解析：解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，1），与y轴交于点B（1，4），
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵E（m，1），B（1，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，），G（m，4）.
∴PG=.
（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵，∴当y=1时，，解得x=1或﹣3.
∴D（﹣3，1）．
当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜1．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（﹣3，1）代入，得﹣3k+4=1，解得k=.
∴直线BD的解析式为y=x+4. ∴H（m，m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么，即.
由﹣3＜m＜1，解得m=﹣1.
②如果△PGB∽△DEH，那么，即.
由﹣3＜m＜1，解得m=．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．
考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.由实际问题列代数式；6.相似三角形的判定和性质；7.分类思想的应用．
22、不公平，理由详见解析；规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
【分析】根据题意可知游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：不公平，
游戏结果可能性列表如下：
和为，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∴甲、乙获胜的概率不相等，
∴游戏不公平．
规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
（和为奇数，甲胜；和为偶数，乙胜；或和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜．答案不唯一)
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之．
23、（1）；（2）无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：时，，
是原方程的解；
（2）两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
检验：时，，
是原方程的增根，
故原方程无解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24、1+
【解析】分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
详解：原式=2×-1+-1+2
=1+．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
25、（1）－；（2）-.
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则计算即可；
（2）代入特殊角的三角函数值，根据0指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算法则计算即可.
【详解】（1）（）
＝（2－2）－6＋6×
＝22－6＋
＝6－4－6＋
＝－.
（2）－14 +
＝
＝
＝-
本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
26、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAC=∠EAC，可得AE∥OC，由平行线的性质可得∠OCD=90°，可得结论；
（2）利用勾股定理得出CD，再利用平行线分线段成比例进行计算即可.
【详解】证明：（1）连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴是的切线
（2）∵，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴.
此题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，熟练运用切线的判定和性质是解题的关键．
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