资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或≤a＜ B．≤a＜
C．a≤或a＞ D．a≤﹣1或a≥
4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．二次函数（b＞0）与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2这六个数中，任取两个数，恰好和为﹣1的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克元，连续两次上涨后，售价上升到每千克元，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（ ）
A．点B B．点D C．点E D．点A
9．若式子有意义，则x的取值范围为( )
A．x≥2 B．x≠3
C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠3
10．三角形的内心是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
11．圆锥的底面半径是，母线为，则它的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在菱形中，，，则对角线等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每题4分，共24分）
13．为估计某水库鲢鱼的数量，养鱼户李老板先捞上150条鲢鱼并在鲢鱼身上做红色的记号，然后立即将这150条鲢鱼放回水库中，一周后，李老板又捞取200条鲢鱼，发现带红色记号的鱼有三条，据此可估计出该水库中鲢鱼约有________条．
14．一个圆锥的母线长为10，高为6，则这个圆锥的侧面积是_______．
15．小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为_______米．
16．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．
17．已知，则=_____________.
18．如图，AB为弓形AB的弦，AB＝2，弓形所在圆⊙O的半径为2，点P为弧AB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，直线分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥轴于B，且S△ABP=1．
（1）求证：△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥轴于T，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
20．（8分）解方程：x2﹣6x﹣7=1．
21．（8分）某校九年级（1）班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下：
甲：8，8，7，8，1.乙：5，1，7，10，1．
甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
0.4
乙
1
3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中_______，_______，_______．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是_______________________________________.班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少1次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是_______________________________________．
（3）乙同学再做一次引体向上，次数为n，若乙同学6次引体向上成绩的中位数不变，请写出n的最小值．
22．（10分）已知a＝，b＝，求．
23．（10分）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
24．（10分）为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A．数学思维，B．文学鉴赏，C．红船课程，D．3D打印，规定每位学生选报一门．为了解学生的报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）求这次被调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假如全校有学生1000人，请估计选报“红船课程”的学生人数.
25．（12分）用你喜欢的方法解方程
（1）x2﹣6x﹣6＝0
（2）2x2﹣x﹣15＝0
26．为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a= ，b= ，样本成绩的中位数落在 范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可．
【详解】由题意可得，．
故选：D．
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
2、B
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．根据正八边形性质求出阴影部分面积占总面积之比，进而可得到答案
【详解】解：由正八边形性质可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形．
则是等腰直角三角形，设，则，，正八边形的边长是．
则正方形的边长是．
则正八边形的面积是：，
阴影部分的面积是：．
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．
本题考查了几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A）；首先根据题意将代数关系用面积表示出来；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．同时也考查了正多边形的计算，根据正八边形性质构造正方形求面积比是关键．
3、A
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
【详解】∵抛物线的解析式为y=ax1-x+1．
观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤1时，满足条件，即a+3≤1，即a≤-1；
当a＞0时，x=1时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥，
∵直线MN的解析式为y=-x+，
由，消去y得到，3ax1-1x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜，
∴≤a＜满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或≤a＜，
故选A．
本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
4、C
【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．
【详解】解：如图，矩形中，
分别为四边的中点，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故选C．
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．
5、B
【解析】试题分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：
∵当反比例函数经过第二、四象限时， a＜0，∴抛物线（b＞0）中a＜0，b＞0，
∴抛物线开口向下. 所以A选项错误.
∵当反比例函数经过第一、三象限时， a＞0，∴抛物线（b＞0）中a＞0，b＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确，C，D选项错误.
故选B．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用．
6、D
【分析】画树状图展示所有15种等可能的结果数，找出恰好和为-1的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中恰好和为-1的结果数为3，
所以任取两个数，恰好和为-1的概率＝．
故选：D．
本题考查的是概率的问题，能够用树状图解决简单概率问题是解题的关键.
7、A
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），先表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于a%的方程．
【详解】解：当猪肉第一次提价时，其售价为；
当猪肉第二次提价后，其售价为
故选：.
本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8、D
【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．
【详解】如图，连接CE，
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝=3，
∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴CD＝AC= 2，CE＝AB=，
∵⊙C的半径为3，BC=3，，，
∴点B在⊙C上，点E在⊙C内，点D在⊙C内，点A在⊙C外，
故选：D．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．
9、D
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件可得关于x的不等式组，解不等式组即可.
【详解】由题意，要使在实数范围内有意义，必须且x≠3，
故选D.
10、D
【分析】根据三角形的内心的定义解答即可．
【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，
故选：D．
此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质．
11、A
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长计算．
【详解】圆锥的侧面面积＝×6×5＝15cm1．
故选：A．
本题考查圆锥的侧面积＝底面周长×母线长，解题的关键是熟知公式的运用.
12、A
【分析】由菱形的性质可证得为等边三角形，则可求得答案．
【详解】四边形为菱形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
故选：．
主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得为等边三角形是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、10000
【解析】试题解析：设该水库中鲢鱼约有x条，由于李老板先捞上150条鲢鱼并在上做红色的记号，然后立即将这150条鲢鱼放回水库中，一周后，李老板又捞取200条鲢鱼，数一数带红色记号的鱼有三条，由此依题意得 200：3=x：150，
∴x=10000，
∴估计出该水库中鲢鱼约有10000条．
14、80π
【分析】首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面半径是：=8，
圆锥的底面周长是：2×8π=16π，
则×16π×10=80π．
故答案为：80π.
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15、1
【分析】直接利用已知构造三角形，利用同一时刻，实际物体与影长成比例进而得出答案．
【详解】如图所示：由题意可得，DE＝2米，
BE＝CD＝8米，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴，
解得：AB＝4，
故旗杆的高度AC为1米．
故答案为：1．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确构造三角形是解题关键．
16、
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为．
17、6
【分析】根据等比设k法，设，代入即可求解
【详解】∵
∴设
∴
故答案为6
本题考查比例的性质，遇到等比引入新的参数是解题的关键。
18、
【解析】连接OB，OA，过O作，得到，求得，连接IA，IB，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和得到，设A，B，I三点所在的圆的圆心为，连接，，得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，解直角三角形得到，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OA，过O作，
，
，
在Rt中，，
，
，
，
连接IA，IB，
点I为的内心，
，，
，
，
点P为弧AB上动点，
始终等于，
点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上运动，
设A，B，I三点所在的圆的圆心为，
连接，，
则，
，
，
连接，
，
，
，
点I移动的路径长
故答案为：
本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，弧长公式以及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，得出点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上是解答此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）P为（2，3）；（3）R（）或（3，0）
【分析】（1）由一对公共角相等，一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）先求出点A、C的坐标，设出A（x，0），C（0，y）代入直线的解析式可知；由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标即可；
（3）把P坐标代入求出反比例函数，设R点坐标为（），根据△BRT与△AOC相似分两种情况，利用线段比建立方程，求出a的值，即可确定出R坐标．
【详解】解：（1）∵∠CAO=∠PAB，∠AOC=∠ABP=10°，
∴△AOC∽△ABP；
（2）设A（x，0），C（0，y）由题意得：
，解得：，
∴A（-4，0），C（0，2），即AO=4，OC=2，
又∵S△ABP=1，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴，即，
∴2BP=AB，
∴2BP2=18，
∴BP2=1，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
（3）设反比例函数为，则，即，
可设R点为（），则RT=，TB=
①要△BRT∽△ACO，则只要，
∴，解得：，
∴；
∴点R的坐标为：（，）；
②若△BRT∽△CAO，则只要，
∴，解得：，
∴，
∴点R的坐标为：（3，2）；
综合上述可知，点R为：（）或（3，2）.
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20、x2=7，x2=﹣2．
【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【详解】原方程可化为：（x﹣7）（x+2）=2，
x﹣7=2或x+2=2；
解得：x2=7，x2=﹣2．
21、（1）2；2；1（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是1，众数是1，获奖可能性较大.（3）.
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法分别计算结果，得出答案；
（2）选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多；
（3）加入一次成绩为n之后，计算6个数的平均数、众数、中位数，做出判断．
【详解】解：（1）甲的成绩中，2出现的次数最多，因此甲的众数是2，即b=2，
（5+1+7+1+10）÷5=2．即a=2，
将乙的成绩从小到大排列为5，7，1，1，10，处在第3位的数是1，因此中位数是1，即c=1，
故答案为：2，2，1．
（2）甲的方差为0.4，乙的方差为3.2，
选择甲的理由是：甲的方差较小，比较稳定，
选择乙的理由是：乙的中位数是1，众数是1，获奖可能性较大，
（3）若要中位数不变，按照从小到大排列为：5，7，1，1，n，10，或5，7，1，1，10，n，
可得n最小值为1.
本题考查了平均数、中位数、众数的意义和计算方法，明确各个统计量的意义，反映数据的特征以及计算方法是正确解答的关键．
22、1．
【分析】先对已知a、b进行分母有理化，进而求得ab、a-b的值，再对进行适当变形即可求出式子的值．
【详解】解：∵a＝，b＝，
∴a＝+2，b＝﹣2，
∴ab＝1，a﹣b＝4，
∴
＝
＝
＝1．
本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的方法．
23、（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=1．
【解析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=1，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
【详解】（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==1，
∵AB∥x轴，且AB=OA=1，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=1．
本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
24、（1）80人 （2）见解析 （3）375
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知，选择文学鉴赏的学生16人，占总体的20%，从而可以求得调查的学生总人数；
（2）根据 3D打印的百分比和（1）中求得的调查的学生数，可以求得选择3D打印的有多少人，进而可以求得选择数学思维的多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据调查的选择红船课程的学生所占的百分比，即可估算出全校选择体育类的学生人数.
【详解】解：（1）16÷20%=80人；
（2）如图所示；
（3）=375（人）．
本题考查了条形统计图、样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.
25、（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝﹣2.5，x2＝1
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】x2﹣6x﹣6＝0，
∵a=1，b=-6，c=-6，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60，
x＝
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2x2﹣x﹣15＝0，
（2x+5）（x﹣1）＝0，
2x+5＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣2.5，x2＝1．
此题考查一元二次方程的解法，根据每个方程的特点选择适合的方法是关键，由此才能使计算更简便.
26、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；
（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得.
【详解】（1）由统计图可得，
a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，
样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b=20，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）1000×=200（人），
答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.
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