资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
2．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( )
A．1:2 B．1:4 C．1: D．2:1
3．向阳村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则cosA可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．直角三角形两直角边之和为定值,其面积与一直角边之间的函数关系大致图象是下列中的（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个解是x＝0，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
9．下列选项的图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的盒子中装有个白球,若于个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为( )
A． B． C． D．
11．点是反比例函数的图象上的一点，则（ ）
A． B．12 C． D．1
12．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )
A．点 B．点 C．点 D．点
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是_____．
14．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
15．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．
16．一元二次方程的解是__．
17．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：
完成引体向上的个数
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
这10人完成引体向上个数的中位数是___________
18．若是关于的一元二次方程，则__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）5x（x﹣1）＝x﹣1．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
21．（8分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果．经市场调研发现：若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱；价格每提高1元，则平均每天少销售3箱．设每箱的销售价为x元（x＞50），平均每天的销售量为y箱，该批发商平均每天的销售利润w元．
（1）y与x之间的函数解析式为__________；
（2）求w与x之间的函数解析式；
（3）当x为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）解方程：x2﹣6x﹣7=1．
23．（10分）如图，⊙O 是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，求sinB的值．
24．（10分）已知正方形ABCD的边长为2，中心为M，⊙O的半径为r，圆心O在射线BD上运动，⊙O与边CD仅有一个公共点E.
（1）如图1，若圆心O在线段MD上，点M在⊙O上，OM=DE，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙O与边AD交于点F，连接MF，过点M作MF的垂线与边CD交于点G，若，设点O与点M之间的距离为,EG=,当时，求的函数解析式.
25．（12分）校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
26．如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交于 F、G、H（任意两点不重合），
（1）半径 BP 的长度范围为 ；
（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K，若 tan ÐKFC = 3 ，求 BP；
（3）连接 GH，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】依据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A. 3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故A正确；
B. ＋－2＝0是分式方程，故B错误；
C. 当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C错误；
D. x2+2x=x2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D错误；
故选A.
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
2、B
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．
【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积比是1：1．
故选B．
本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．
3、A
【分析】设年平均增长率为，根据：2017年的人均收入×1+增长率=年的人均收入，列出方程即可．
【详解】设设年平均增长率为，根据题意，得：
，
故选：A．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
4、D
【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴∽，
∴；
故选：D.
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.
5、B
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．
【详解】解：
故选：B．
本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6、C
【解析】解：cosA=，故选C．
7、A
【解析】设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式即可得到关系式,观察形式即可解答.
【详解】解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).
根据三角形面积公式则有:
y = ，
以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,所以A选项是正确的.
考查了现实中的二次函数问题,考查了学生的分析、 解决实际问题的能力.
8、A
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值,且（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程，即．
【详解】把x=0代入方程得到：a2－1＝0
解得：a=±1．
（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程
即．
综上所述a=1.
故选A．
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.
9、B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
本题主要考查的是中心对称图形，理解中心对称图形的定义是判断这四个图形哪一个是中心对称图形的关键.
10、B
【分析】根据题意可知摸出白球的概率=白球个数÷白球与黄球的和，代入求x即可.
【详解】解：设黄球个数为x,
∵在一个不透明的盒子中装有个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,
∴=8÷(8+x)
∴x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
故选：B
本题考查的是利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键.
11、A
【解析】将点代入即可得出k的值．
【详解】解：将点代入得，，解得k=-12，
故选：A．
本题考查反比例函数图象上点，若一个点在某个函数图象上，则这个点一定满足该函数的解析式．
12、C
【解析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.
【详解】解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、﹣1.5或
【解析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】y=x2-2mx=（x-m）2-m2，
①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，
解得：m=-=-1.5；
②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，
解得：m=＜2（舍）；
③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，
解得：m=或m=-＜-1（舍），
∴m的值为-1.5或，
故答案为：﹣1.5或．
本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
14、不能
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
15、
【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=
∴AF=
故答案为．
点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
16、x1＝1，x2＝﹣1．
【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】∵
∴=9，
∴x=±1，
即x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为x1＝1，x2＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
17、1
【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。
【详解】解：将10个数据由小到大排序：7、8、8、1、1、1、10、10、10、10，处于这组数据中间位置的数是1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（1+1）÷2=1．
所以这组同学引体向上个数的中位数是1．
故答案为：1．
本题为统计题，考查中位数的意义，解题的关键是准确认识表格．
18、1
【分析】根据一元二次方程的定义可知的次数为2，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：m=1，
故答案为：1．
本题重点考查一元二次方程定义，理解一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（1）是整式方程；其中理解特点（2）是解决这题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝1，x2＝0.2
【分析】（1）利用配方法求解，可得答案；
（2）利用因式分解法求解，可得答案．
【详解】（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝7，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵5x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（5x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或5x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0.2．
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）DE与⊙O相切；（3）
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径；
（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；
（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．
【详解】解：（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∴AB为⊙O的直径；
（2）DE与⊙O相切，
理由为：连接OD，
∵O、D分别为AB、BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（3）解：连接BF，
∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，
∵D为BC中点，∴E为CF中点，DE=BF，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，
∴BF=，则DE=BF=．
本题考查圆；等腰三角形；平行线的性质．
21、（1）;（2）w=；（3）当x为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元
【分析】（1）设每箱的销售价为x元（x＞50），则价格提高了元，平均每天少销售箱，所以平均每天的销售量为，化简即可；
（2）平均每天的销售利润每箱的销售利润平均每天的销售量，由此可得关系式；
（3）当时（2）中的关于二次函数有最大值，将x的值代入解析式求出最大值即可.
【详解】（1）．
（2）
=．
w=
∴当时，w最大值=1．
∴当x为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元．
本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题中等量关系列出函数关系式是解题的关键.
22、x2=7，x2=﹣2．
【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【详解】原方程可化为：（x﹣7）（x+2）=2，
x﹣7=2或x+2=2；
解得：x2=7，x2=﹣2．
23、
【解析】试题分析：求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
试题解析：解：连接DC．∵AD是直径，∴∠ACD=90°．∵∠B=∠D，∴sinB=sinD==．
点睛：综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．
24、（1）相切，证明详见解析；（2）.
【分析】（1）过O作OF⊥AD于F，连接OE,可证△ODF≌△ODE，可得OF=OE,根据相切判定即可得出：AD与相切；
（2）连接MC，可证，可得DF=CG，过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H设DP=a，DH=b，由于△DHF与△DPE都是等腰直角三角形，设EP=DP=a，FH=DH=b,利用勾股定理：可列出方程组解得a=b，可得 ， .由于 可得，由 可得OD=a， 由OD=OM-DM，可得， 代入2DF+y=2可得，整理得y与x的函数解析式,由DF≤1， EG≥0，可得x的取值范围，即可求解问题.
【详解】解：（1）直线AD与⊙O相切，理由如下：
过O作OF⊥AD于F，连接OE
∴∠OFD=90°
在正方形ABCD中，BD平分∠ADE，∠ADE=90°
∴∠FDO=∠EDO=45°
∵与CD仅有一个公共点E
∴CD与相切
∴OE⊥DC，OE为半径
∴∠OED=90°
又∵OD=OD
∴△ODF≌△ODE
∴OF=OE
∵OF⊥AD、OF=OE
∴AD与相切
（2）连接MC
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠ADB =45°
∵∠BCD=90°，M为正方形的中心
∴MC=MD=，∠ADB=∠DCM=45°
∵FM⊥MG，即∠FMG=90°
且在正方形ABCD中，∠DMC=90°
∴∠FMD+∠DMG=∠DMG+∠CMG
∴∠FMD=∠CMG
∴
∴DF=CG
过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H
设DP=a，DH=b
∵∠FDM=∠EDM=45°
∴△DHF与△DPE都是等腰直角三角形
∴EP=DP=a，FH=DH=b
∵ ，且由（1）得
∴点O在正方形ABCD外
∴OP=OD+DP，OH=OD+DH
在Rt△OPE与Rt△OHF中
得：（a-b）(OD+a+b)=0
∴a-b=0或OD+a+b=0
∵OD+a+b>0
∴a-b=0
∴a=b
即点P与点H重合，也即EF⊥BD，垂足为P（或H）
∵DP=a，DH=b
∵在Rt△DPE中，
在Rt△DHF中，
∴DF=DE
∵CD=DE+EG+CG=2，即2DF+EG=2
∴2DF+y=2
∵在Rt△DPF中， ，且
∴
在Rt△OPE与Rt△OHF中
∴
∴OD+a=2a
∴OD=a
又因为 OD=OM-DM，即
∴
又因为 2DF+y=2
∴
∴
∴
∵DF≤1，且2DF+EG=2
∴EG≥0，即y≥0
∴
∴
∴y与x的函数解析式为
本题考查一次函数综合题、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数，构建方程以及方程组解决问题.
25、2m
【详解】解：设道路的宽为xm，
（32-x）（20-x）=540，
整理，得x2-52x+100=0，
∴（x-50）（x-2）=0，
∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），
小道的宽应是2m．
故答案为2.
此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
26、（1）；（2）BP=1；（3）
【分析】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态，分别求出BP的值，因为任意点都不重合，所以BP在两者之间即可得出答案；
（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；
（3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，看用面积法求出，在中由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值即可得出答案．
【详解】（1）当G点与E点重合时，BG=BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BD=5，
∵CE⊥BD，
∴,
∴,
在△BEC中，由勾股定理得：
,
∴,
当点G和点D重合时，如图所示：
∵△BCD是直角三角形，
∴BP=DP=CP,
∴，
∵任意两点都不重合，
∴，
（2）连接FG，如图所示：
∵∠KFC=∠BFE，tan ÐKFC = 3，
∴，
∴，
∴,
∵BG是圆的直径，
∴∠BFG=90°，
∴∠GFE+∠BFE=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠FEG=∠FEB=90°，
∴∠GFE+∠FGE=90°，
∴∠BFE=∠FGE
∴△BEF∽△FEG，
∴,
∴,
∴,
∴BG=EG+BE=2，
∴BP=1，
（3）为定值，
过作,连接，，交GH于点O，如下图所示：
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
本题考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的运用，三角函数，相似三角形的判定和性质等知识点，属于圆和矩形的综合题，难度中等偏上，利用数形结合思想和扎实的基础是解决本题的关键．
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