资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若反比例函数y=图象经过点（5，-1），该函数图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，其中4个黄球，6个白球.从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
6．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2
10．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：1，95，1，80，80，1．下列表述错误的是（ ）
A．众数是1 B．平均数是1 C．中位数是80 D．极差是15
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆.过点作的平行线交两弧分别于点，则图中阴影部分的面积是_______.
12．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．
13．如图所示，中，，是中点，，垂足为点，与交于点，如果，那么______.
14．已知，=________．
15．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．
16．抛物线的顶点坐标是______________.
17．反比例函数y＝﹣的图象与一次函数y＝﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a，b)，则＝_____．
18．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长．
20．（6分）新罗区某校元旦文艺汇演，需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人．
（1）如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是多少？
（2）如果选择2名主持人，用画树状图(或列表)求出2名主持人恰好是1男1女的概率．
21．（6分）（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）
②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．
22．（8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）探索：线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说呀理由．
23．（8分）如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题：
⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值；
⑶当t的值为 ，△AMN是等腰三角形．
24．（8分）已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤4时，求y的取值范围．
25．（10分）如图,在口ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE= CD
(1)求证:△ABF∽△CEB
(2)若△DEF的面积为2,求△CEB的面积
26．（10分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：A. ,故此选项错误;
B. ,故此选项错误;
C. ,故此选项错误;
D. 是最简二次根式,故此选项正确
故选：D．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
2、D
【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（5，-1），
∴k=5×（-1）=-5＜0，
∴该函数图象在第二、四象限．
故选D．
3、B
【分析】用黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【详解】因为一共有10个球，其中黄球有4个，
所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为．
故选：B．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
4、C
【解析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，整理成一般形式，左边化为完全平方式，用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
5、C
【分析】连接，即，又，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【详解】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选C．
本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．
6、D
【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相反数的特点进行选择即可.
【详解】因为，
所以，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故选D.
本题考查的是特殊角三角函数值和关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键.
7、A
【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝1，CM＝2，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长．
【详解】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝1．
∵DM＝2，
∴CM＝2．
∴在Rt△BCM中，BM＝，
∴EF＝，
故选：A．
本题考查正方形的性质、三角形的判定和性质,关键在于做好辅助线,熟记性质.
8、A
【分析】直接利用对称轴为计算即可．
【详解】∵，
∴抛物线的对称轴是，
故选：A．
本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数对称轴的求法是解题的关键．
9、B
【解析】试题分析：∵底面周长是6π,∴底面圆的半径为3cm，∵高为4cm，∴母线长5cm，∴根据圆锥侧面积=底面周长×母线长，可得S=×6π×5=15πcm1．故选B．
考点：圆锥侧面积．
10、C
【分析】本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．
【详解】解：这组数据中1出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位1；
由平均数公式求得这组数据的平均数位1，极差为95-80=15；
将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是1，故中位数为1．
所以选项C错误．
故选C．
本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】如图，连接CE，可得AC=CE，由AC是半圆的直径，可得OA=OC=CE，根据平行线的性质可得∠COE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得∠CEO=30°，即可得出∠ACE=60°，利用勾股定理求出OE的长，根据S阴影=S扇形ACE-S△CEO-S扇形AOD即可得答案.
【详解】如图，连接CE，
∵AC=6，AC、CE为扇形ACB的半径，
∴CE=AC=6，
∵OE//BC，∠ACB=90°，
∴∠COE=180°-90°=90°，
∴∠AOD=90°，
∵AC是半圆的直径，
∴OA=OC=CE=3，
∴∠CEO=30°，OE==，
∴∠ACE=60°，
∴S阴影=S扇形ACE-S△CEO-S扇形AOD=--=，
故答案为：
本题考查扇形面积、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键.
12、5．
【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分 N在矩形ABCD内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，
∴∠MAB＝∠MNB＝90°．
∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，
∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，
∴只有∠BNC＝90°．
①
当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图3．
∵∠BNC＝∠MNB＝90°，
∴M、N、C三点共线，
∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，
∴NC＝4．
设AM＝MN＝x，
∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，
∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，
35+（5﹣x）5＝（4+x）5，
解得x＝3；
当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图5．
∵∠BNC＝∠MNB＝90°，
∴M、C、N三点共线，
∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，
∴NC＝4，
设AM＝MN＝y，
∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，
∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，
35+（y﹣5）5＝（y﹣4）5，
解得y＝9，
则所有符合条件的M点所对应的AM和为3+9＝5．
故答案为5．
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．
13、4
【分析】根据直角三角形中线性质得CM=，根据相似三角形判定得△ABC∽△MBH, △AOC∽△HOM，根据相似三角形性质可得.
【详解】因为中，，是中点，
所以CM=
又因为，
所以
所以△ABC∽△MBH, △AOC∽△HOM,
所以
所以
故答案为：4
考核知识点：相似三角形.理解判定和性质是关键.
14、
【分析】先去分母，然后移项合并，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法.
15、1
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=
∴DQ+PQ的最小值是1．
本题考查轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
16、 (0，-1)
【分析】抛物线的解析式为：y=ax2+k，其顶点坐标是（0，k），可以确定抛物线的顶点坐标．
【详解】抛物线的顶点坐标是(0，-1).
17、﹣
【分析】根据函数图象上点的坐标特征得到ab=﹣3，a+b=5，把原式变形，代入计算即可．
【详解】∵反比例函数的图象与一次函数y=﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a，b)，
∴ab=﹣3，b+a=5，
则，
故答案为：﹣．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
18、（9，0）
【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，
所以位似中心的坐标为(9，0)．
故答案为：(9，0)．
三、解答题(共66分)
19、（1）A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）；（2） ．
【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；
试题解析：（1）如图，
（2）由可得：
20、（1）；（2）见解析，
【分析】（1）由题意根据所有出现的可能情况，然后由概率公式即可求出男生当选的概率；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与选出的是1名男生1名女生的情况，然后由概率公式即可求解．
【详解】解：(1) ∵需要从3名女生和1名男生中随机选择1名主持人，
∴男生当选的概率 P（男生）=.
(2)根据题意画画树状图，
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而2名主持人恰好是1男1女的结果有6种，
所以2名主持人恰好是1男1女的概率P（一男一女）=.
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；另外注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）面料的单价为3元/米，里料的单价为2元/米；（2）①5；②5%．
【分析】(1)、设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据成本为1元列出一元一次方程，从而得出答案；
(2)、设打折数为m，根据利润不低于4元列出不等式，从而得出m的值；
(3)、设vip客户享受的降价率为x，根据题意列出分式方程，从而得出答案
【详解】解：(1)、设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米．
根据题意得：0.5x+1.2（2x+10）=1．解得：x=2．2x+10=2×2+10=3．
答：面料的单价为3元/米，里料的单价为2元/米．
(2)、设打折数为m．
根据题意得：13×﹣1﹣14≥4．解得：m≥5．∴m的最小值为5．
答：m的最小值为5．
(3)、13×0.5=12元．
设vip客户享受的降价率为x．
根据题意得：，解得：x=0.05
经检验x=0.05是原方程的解．
答；vip客户享受的降价率为5%．
本题考查(1)、分式方程的应用；(2)、一元一次方程的应用；(3)、不等式的应用，正确理解题目中的等量关系是解题关键
22、（1）；（2）；（3）存在，，.
【解析】（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．
（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．
【详解】解：（1）∵，∴，．∴，
解得，∴二次函数的解析式为；
（2），
设直线的解析式为，则有解得
∴直线的解析式为
∵轴，，∴点的坐标为
；
（3）线段上存在点， 使为等腰三角形．设点坐标为则：
，，
①当时，解得，（舍去）
此时
②当时，，
解得，（舍去），此时
③当时，
解得，此时．
本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
23、（1）， ；（2）t=；（3）或或
【分析】（1）如图过点M作MD⊥AC于点D，利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题；
（2）连接PM,交AC于D，，当四边形MNPC为菱形时，ND=，即可用t表示AD，再结合第一问的相似可以用另外一个含t式子表示AD，列方程计算即可；
（3）分别用t表示出AP、AQ、PQ，再分三种情况讨论：①当AQ＝AP②当PQ＝AQ③当PQ＝AP，再分别计算即可．
【详解】解：⑴过点M作MD⊥AC于点D．
∵,；
∴AB=10cm．BM=AN=2t
∴AM=10-2t．
∵△ADM∽△ACB
∴即
∴
∴
又
∴S的最大值是；
⑵连接PM,交AC于D，
∵四边形MNPC是菱形，则MP⊥NC,ND=CD
∵CN=8-2t
∴ND=4-t
∴AD=2t+4-t=t+4
由⑴知AD=
∴=t+4
∴t=；
（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，与（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4
∴PQ＝＝＝，
在△APQ中，
①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；
②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；
③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；
∵0＜t＜4，
∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．
此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
24、（1）y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）﹣≤y≤1．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣2）2+1，然后把（0,1）代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）分别计算自变量为﹣1和1对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
把（0,1）代入得1a+1＝1，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝-（x﹣2）2+1．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣；
当x＝1时，y＝﹣（1﹣2）2+1＝1，
∴ 当-1≤x≤2时，﹣≤y≤1；
当2≤x≤1时，1≤y≤1
所以当﹣1≤x≤1时，y的取值范围为﹣≤y≤1．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出函数关系式，从而代入数值求解．
25、（1）见解析；（2）18.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AB∥DC，然后根据平行线的性质可得∠ABF=∠CEB，最后根据相似三角形的判定定理可得△ABF∽△CEB；
（2）根据已知条件即可得出DE=EC，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定可得△DEF∽△CEB，最后根据相似三角形的性质即可求出△CEB的面积.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，AB∥DC
∴∠ABF=∠CEB
∴△ABF∽△CEB；
（2）∵DE= CD
∴DE=EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴△DEF∽△CEB
∴
∵△DEF的面积为2
∴S△CEB=18
此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质定理和相似三角形的判定定理及性质定理是解决此题的关键.
26、第二周的销售价格为2元．
【分析】由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．
【详解】解：设降低x元，由题意得出：，
整理得：，解得：x1=x2=1．
∴10－1=2．
答：第二周的销售价格为2元．
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