湖北省武汉黄陂区六校联考2024-2025学年九上数学期末统考试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．二次函数化为的形式，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在正方形ABCD中，H是对角线BD的中点，延长DC至E，使得DE=DB，连接BE，作DF⊥BE交BC于点G，交BE于点F，连接CH、FH，下列结论：（1）HC=HF；（2）DG=2EF；（3）BE·DF=2CD2；（4）S△BDE=4S△DFH；（5）HF∥DE，正确的个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）．

A．60 ° B．75° C．85° D．90°
4．在单词probability（概率）中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x＝ B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝ D．x＝0
7．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．如图，一张矩形纸片ABCD的长，宽将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：

A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
9．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2.5 D．有最大值 2，无最小值
10．下列方程没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2+x+1＝0
11．如图，△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE与△ABC的周长比为2∶5，则AD∶DB为( )

A．2∶5 B．4∶25 C．2∶3 D．5∶2
12．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1 B．心想事成，万事如意是不可能事件
C．平分弦（非直径）的直径垂直弦 D．的平方根是
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知⊙P的半径为4，圆心P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上运动，当⊙P与x轴相切时，则圆心P的坐标为_____．

14．已知矩形ABCD，AB=3,AD=5,以点A为圆心，4为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为 __________.
15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．
16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．
17．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为_____；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．

18．如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置.设，，则顶点运动到点的位置时，点经过的路线长为_________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠ADE＝∠B．
求证：（1）△ABD∽△ADE；
（2）AD2＝AE•AB．

20．（8分）如图，在中，，，垂足分别为，与相交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．

21．（8分）（1）x2+2x﹣3＝0
（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）
22．（10分）解分式方程：．
23．（10分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为10cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图1．
（1）求车架档AD的长；
（1）求车座点E到车架档AB的距离．
(结果精确到1 cm．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.159，tan75°=3.731)
24．（10分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．
25．（12分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．
（1）分别求m、n的值；
（2）连接OD，求△ADO的面积．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣1）（x﹣2）=18，故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
2、B
【解析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF，根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH，即可证明HF是△BDE的中位线，可得HF=DE，HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠CBE=∠CDG，利用ASA可证明△BCE≌△DCG，可得DG=BE，可判定DG=2EF，由正方形的性质可得BD2=2CD2，根据∠CBE=∠CDG，∠E是公共角可证明△BCE∽△DFE，即可得，即BE·DF=DE·BC，可对③进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定，综上即可得答案.
【详解】∵BD=DE，DF⊥BE，
∴EF=BF，
∵H是正方形ABCD对角线BD的中点，
∴CH=DH=BH=BD，
∴HF是△BDE的中位线，
∴HF=DE=BD=CH，HF//DE，故①⑤正确，
∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，
∴∠CBE=∠FDE，
又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，
∴△BCE≌△DCG，
∴DG=BE，
∵BE=2EF，
∴DG=2EF，故②正确，
∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，
∴△BCE∽△DFE，
∴，即BE·DF=DE·BC，
∵BD2=CD2+BC2=2CD2
∴DE2=2CD2，
∴DE·BC≠2CD2，
∴BE·DF≠2CD2，故③错误，
∵DH=BD，
∴S△DFH=S△DFB，
∵BF=BE，
∴S△DFB=S△BDE，
∴S△DFH=S△BDE，即S△BDE=4S△DFH，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个，
故选B.
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，综合性较强，熟练掌握所学性质及定理是解题关键.
3、C
【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，

∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，
即∠BAC的度数为85°．故选C．
考点: 旋转的性质.
4、A
【解析】字母“i”出现的次数占字母总个数的比即为选中字母“i”的概率.
【详解】解：共有11个字母，每个字母出现的可能性是相同的，字母i出现两次，其概率为．
故选：A．
本题考查简单事件的概率，利用概率公式求解是解答此题的关键.
5、A
【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况.
【详解】
方程有两个不相等的实数根.
故选A.
本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入计算是解题的突破口.
6、C
【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.
【详解】∵3x2﹣x=0，
∴x（3x﹣1）=0，
∴x=0或3x﹣1=0，
∴x1=0，x2=，
故选C．
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.
7、B
【分析】根据一元二次方程的构成找出其二次项系数、一次项系数以及常数项，再根据根的判别式△＝17＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解.
【详解】解：在一元二次方程x2+3x﹣2＝0中，二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为﹣2，
∵△＝32﹣4×1×(﹣2)＝17＞0，
∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根.
故选：B.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
8、B
【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可．
【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴，即，
∴a∶b＝.
所以答案选B.
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
9、C
【详解】由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
10、D
【解析】首先根据题意判断上述四个方程的根的情况，只要看根的判别式△= -4ac的值的符号即可．
【详解】解：A、∵△＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
B、∵△＝b2﹣4ac＝36﹣20＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
C、∵△＝b2﹣4ac＝12﹣12＝0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D、∵△＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确．
故选：D．
本题考查根的判别式．一元二次方程的根与△= -4ac有如下关系：（1) △>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2) △=0⇔方程有两个相等的实数根；(3) △<0⇔方程没有实数根．
11、C
【分析】由题意易得，根据两个相似三角形的周长比等于相似比可直接得解．
【详解】，，
△ADE与△ABC的周长比为2∶5，，
．
故选C．
本题主要考查相似三角形的性质，关键是根据两个三角形相似，那么它们的周长比等于相似比．
12、B
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 必然事件的概率为1，该选项说法正确，不符合题意；
B. 心想事成，万事如意是随机事件，该选项说法错误，符合题意；
C. 平分弦（非直径）的直径垂直弦，该选项说法正确，不符合题意；
D. 的平方根是，该选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
本题主要考查命题的真假，掌握随机事件，垂径定理，平方根的概念是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）
【分析】根据已知⊙P的半径为4和⊙P与x轴相切得出P点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案．
【详解】解：当半径为4的⊙P与x轴相切时，
此时P点纵坐标为4或﹣4，
∴当y＝4时，4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2，
∴此时P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），
当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝x2＝1，
∴此时P点坐标为：（1，﹣4）．
综上所述：P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．
故答案为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．
此题是二次函数综合和切线的性质的综合题，解答时通过数形结合以得到P点纵坐标是解题关键。
14、点C在圆外
【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．
【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，
∴AC＝厘米，
∵半径为4厘米，
∴点C在圆A外

本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
15、＝45
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．
【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．
16、﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．
【详解】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．
17、2． -1
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．
【详解】解：①如图，连接OA．

∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18、
【分析】根据题意得到直角三角形在直线上转动两次点A分别绕点B旋转120°和绕C″旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵BC=1，，
∴AB=2，∠CBA=60°，
∴弧AA′=；
弧A′A′′=；
∴点A经过的路线的长是；
故答案为：.
本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A是以那一点为圆心转动多大的角度．

三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由AD是的平分线可得，又，则结论得证；
（2）由（1）可得出结论．
【详解】证明：（1）是的平分线，
，
．
∽；
（2）∽，

．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）只要证明∠DBF=∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】(1)，
，
，，
，
；
(2)由，可得，

，
，
．
本题考查了锐角三角函数的应用，相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．
21、（1）x＝﹣3或x＝1;（2）x＝1或x＝4.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可.
【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴(x+3)(x﹣1)＝0，
∴x＝﹣3或x＝1；
（2）∵(x﹣1)2＝3(x﹣1)，
∴(x﹣1)[(x﹣1)﹣3]＝0，
∴(x﹣1)(x﹣4)＝0，
∴x＝1或x＝4；
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
22、分式方程无解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：x(x+1)﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23、（1）75cm（1）2cm
【解析】解：（1）在Rt△ACD中，AC=45，CD=60，∴AD=，
∴车架档AD的长为75cm．
（1）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
距离EF=AEsin75°=（45+10）sin75°≈61.7835≈2．
∴车座点E到车架档AB的距离是2cm．
（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．
（1）过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．
24、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：.
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题关键是求出总情况和所求事件情况数．
25、（1）见解析；（2）4.1
【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=10°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.1，
∴DE=AE-AD=4.1．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．
26、（1）m＝8，n＝1．（1）10
【分析】（1）把代入解析式可求得m的值，再把点D（4，n）代入即可求得答案；
（1）用待定系数法求得直线AB的解析式，继而求得点A的坐标，再利用三角形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）∵反比例函数（＞0）在第一象限的图象交于点，
∴，
∴，
∴函数解析式为，
将代入得，．
（1）设直线AB的解析式为，由题意得
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
令，则，
∴，
∴．
本题考查了用待定法求函数解析式及三角形面积公式，熟练掌握待定法求函数解析式是解题的关键.