资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，已知在ΔABC中，DE∥BC，则以下式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．方程（x+1）2=4的解是（ ）
A．x1=﹣3，x2=3 B．x1=﹣3，x2=1 C．x1=﹣1，x2=1 D．x1=1，x2=3
4．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC=6米，∠ABC=90°，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）米.
A． B． C． D．
6．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（ ）
A．点B在⊙A上 B．点B在⊙A外 C．点B在⊙A内 D．不能确定
8．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
9．下列一元二次方程中，有一个实数根为1的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x-4=0 B．x 2-4x+4=0
C．x 2+4x+10=0 D．x 2+4x-5=0
10．如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某工厂去年10月份机器产量为500台，12月份的机器产量达到720台，设11、12月份平均每月机器产量增长的百分率为x，则根据题意可列方程_______________
12．如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为__．
13．如图，摆放矩形与矩形，使在一条直线上，在边上，连接，若为的中点，连接，那么与之间的数量关系是__________．
14．如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______.
15．编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是___．
16．菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝_____cm．
17．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.
18．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF的长为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1 ，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．
（1）求证：．
（2）如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且， ，求的面积．
20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC＝5，点E在射线BC上，tan∠DCE＝，点P从点B出发，以每秒2个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点P作PQ⊥BD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造▱PBQF，设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）tan∠DBE＝ ；
（2）求点F落在CD上时t的值；
（3）求▱PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；
（4）连接▱PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与△ABC的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t的值．
21．（6分）如图，在中，，，，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E，将翻折得到，延长FP交AB于H，连结AE，PE交AC于G.
（1）求证；
（2）当时，求AE的长；
（3）当时，求AG的长.
22．（8分）如图，已知抛物线经过，及原点，顶点为．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、，为顶点，为边的四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）是抛物线上第一象限内的动点，过点作轴，垂足为．是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根.
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．
24．（8分）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：
（1）三面涂有颜色的概率；
（2）两面涂有颜色的概率；
（3）各个面都没有颜色的概率．
25．（10分）解方程：x2﹣x＝3﹣x2
26．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先根据垂径定理得到，CE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
【详解】∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE，②正确，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，
∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；
又，故①错误；
故选：C．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
2、D
【分析】由DE∥BC可以推得ΔADE~ΔABC,再由相似三角形的性质出发可以判断各选项的对错．
【详解】∵DE∥BC，∴ΔADE~ΔABC,所以有：
A、，正确；
B、由A得，即，正确；
C、,即，正确；
D、，即,错误．
故选D．
本题考查三角形相似的判定与性质，根据三角形相似的性质写出有关线段的比例式是解题关键．
3、B
【解析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
【详解】（x＋1）2＝4
则x＋1＝±2，
解得：x1＝−1-2＝-3，x2＝−1+2＝1．
故选B．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
4、D
【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=1．
故选D．
5、C
【分析】根据余弦定义：即可解答．
【详解】解：，
，
米，
米；
故选C．
此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义．
6、A
【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；
B、不确定；
C、不确定；
D、不确定．
故选：A．
本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．
7、C
【分析】根据题意确定AC＞AB，从而确定点与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵点C为线段AB延长线上的一点，
∴AC＞AB，
∴以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为点B在⊙A内，
故选：C．
本题考查的知识点是点与圆的位置关系，根据题意确定出AC＞AB是解此题的关键．
8、D
【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝,
∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝，
故选D．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．
9、D
【分析】由题意，把x=1分别代入方程左边，然后进行判断，即可得到答案．
【详解】解：当x=1时，分别代入方程的左边，则
A、1+2=，故A错误；
B、1-4+4=1，故B错误；
C、1+4+10=15，故C错误；
D、1+4-5=0，故D正确；
故选：D．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是分别把x=1代入方程进行解题．
10、C
【解析】 【分析】过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，得出 ，可得出，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可．
【详解】解：过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，
由题意可得出 ，
继而可得出
顶点，分别在反比例函数 （）与 （）的图象上
∴
∴
∴
∴
A. ，此选项错误，
B. ，此选项错误；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项错误；
故选：C．
本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据增长率公式即可列出方程.
【详解】解：根据题意可列方程为：，
故答案为：.
本题考查一元二次方程的应用——增长率问题.若连续两期增长率相同，那么a(1+x)2=b，其中a为变化前的量，b为变化后的量，增长率为x．
12、1．
【分析】作CE⊥x轴于E，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝＝，设D（m，n），则C（2m，2n），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4mn，则A（m，4n），然后根据三角形面积公式用m、n表示S△AOD和S△BCD，从而得到它们的比．
【详解】作CE⊥x轴于E，如图，
∵DB∥CE，
∴＝＝＝，
设D（m，n），则C（2m，2n），
∵C（2m，2n）在反比例函数图象上，
∴k＝2m×2n＝4mn，
∴A（m，4n），
∵S△AOD＝×（4n﹣n）×m＝mn，S△BCD＝×（2m﹣m）×n＝mn
∴△AOD与△BCD的面积比＝mn：mn＝1．
故答案为1．
考核知识点：平行线分线段成比例，反比例函数；数形结合，利用平行线分线段成比例，反比例函数定义求出点的坐标关系是关键.
13、
【分析】只要证明△FHE≌△AHM，推出HM=HE，在直角△MDE中利用斜边中线的性质，则DH=MH=HE，即可得到结论成立．
【详解】解：如图，延长EH交AD于点M，
∵四边形ABCD和ECGF是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFH=∠HAM，
∵点H是AF的中点，
∴AH=FH，
∵∠AHM=∠FHE，
∴△FHE≌△AHM，
∴HM=HE，
∴点H是ME的中点，
∵△MDE是直角三角形，
∴DH=MH=HE；
故答案为：．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14、6.
【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=, S△BOE=，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．
【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=S△AOC，
∵点A为函数y=（x＞0）的图象上一点，
∴S△AOD=，
同理得：S△BOE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为6.
15、．
【解析】直接利用概率公式求解可得．
【详解】在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，
所以编号是偶数的概率为，
故答案为：．
本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16、1
【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可得解．
【详解】解：如图，∵菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC＝6cm，
∴AB＝20÷4＝5cm，AO＝AC＝3cm，
又∵AC⊥BD，
∴BO＝＝4cm，
∴BD＝2BO＝1cm．
故答案为：1．
本题考查了菱形的性质,属于简单题,熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.
17、
【解析】由，知点A,C都在BD的垂直平分线上，因此，可连接交于点，易证是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC的长度，应用勾股定理可求解.
【详解】解：如图，连接交于点
∵，，，
∴垂直平分，是等边三角形
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，
∴
∴
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.
18、
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】，
，
，
，
解得，
故答案为：．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义结合两直线平行，内错角相等可得，然后利用等角对等边证明即可；
（2）先证得为等腰三角形，设，，利用三角形内角和定理以及平行线性质定理证得，再利用同底等高的两个三角形面积相等即可求得答案．
【详解】（1）平分，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2），，
，
为等腰三角形，
设，，
，，
又，
，
，
，
即为直角三角形，
四边形是平行四边形，
，
∴．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等角对等边的性质，同底等高的两个三角形面积相等，证得为直角三角形是正确解答(2)的关键．
20、（1）;（1）t＝;（3）见解析;（4）t的值为或或或1．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．解直角三角形求出BH，DH即可解决问题．
（1）如图1中，由PF∥CB，可得，由此构建方程即可解决问题．
（3）分三种情形：如图3-1中，当时，重叠部分是平行四边形PBQF．如图3-1中，当时，重叠部分是五边形PBQRT．如图3-3中，当1＜t≤1时，重叠部分是四边形PBCT，分别求解即可解决问题．
（4）分四种情形：如图4-1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．如图4-1中，当MN⊥BC时．如图4-3中，当MN⊥AB时．当点P与点D重合时，MN∥BC，分别求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．
在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝，
∴DH＝4，CH＝3，
∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，
∴tan∠DBE＝＝＝．
故答案为．
（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BC＝5，tan∠CBM＝＝，
∴CM＝，BM＝DM＝1，
∵PF∥CB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝．
（3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形PBQF，S＝PB•PQ＝1t•t＝10t1．
如图3﹣1中，当＜t≤1时，重叠部分是五边形PBQRT，S＝S平行四边形PBQF﹣S△TRF＝10t1﹣•[1t﹣（5﹣5t）]• [1t﹣（5﹣5t）]＝﹣55t1+（10+50）t﹣15．
如图3﹣3中，当1＜t≤1时，重叠部分是四边形PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝×5×4﹣•（5﹣t）•（4﹣1t）＝﹣t1+10t．
（4）如图4﹣1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．
∵PN∥MT，
∴＝，
∴＝，
∴MT＝，
∵MN∥AB，
∴＝＝＝1，
∴PB＝BM，
∴1t＝×1，
∴t＝．
如图4﹣1中，当MN⊥BC时，易知点F落在DH时，
∵PF∥BH，
∴＝，
∴＝，
解得t＝．
如图4﹣3中，当MN⊥AB时，易知∠PNM＝∠ABD，
可得tan∠PNM＝＝，
∴＝，
解得t＝，
当点P与点D重合时，MN∥BC，此时t＝1，
综上所述，满足条件的t的值为或或或1．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
21、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先证明P、C、F共线，由余角的性质可证，根据等角对等边证明，再由余角的性质证明和等角对等边证明，结论可证；
（2）过A作于M，由勾股定理可求BC=4，然后求出MP的长，再由勾股定理求出AP的长，由是等腰直角三角形可求出AE的长；
（3）通过证明，可得，由外角的性质可求出∠PAF=F=22.5°，再根据角的和差和三角形内角和定理证明，然后求出，然后通过证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
故F在AC的延长线上.
又，，
而，∴，
而，∴，∴，
又，，∴，
∴，∴，
（2）过A作于M，
∵，，
∴BC=4，
∴，，
又∵，
∴BP=3，CP=，
∴，
∴，
由（1）知AP=AE，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）由，且得
，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵，
∴，而∴，
∴，∴，
∴，
∴.
本题考查了平行四边形的性质，余角的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
22、（1）；（2）点的坐标为：（1，3）；（3）存在．符合条件的点有两个，分别是或（3，15）．
【分析】（1）由于抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，将点，，代入，可得：
，
解得：．
故函数解析式为：；
（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，
由A（-2，0）知：DE=AO=2，
由四边形AODE可知D在对称轴直线x=-1右侧，
则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D（1，3）．
综上可得点D的坐标为：（1，3）；
（3）存在．理由如下：
如图：，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
是直角三角形，，
假设存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，
设，由题意知，，且，
①若，则，即，
得：，（舍去）．
当时，，即,
②若，则，
即：，
得：，（舍去），
当时，，即．
故符合条件的点有两个，分别是或（3，15）．
本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．
23、（1）线段BC的长度为4；
（2）AC⊥AB，理由见解析；
（3）点D的坐标为（﹣2，1）
【解析】(1))解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；
(2)由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；
(3)容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
【详解】解:（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），
∴BC=4，
（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA=，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣x﹣1，
∴x=﹣2，
∴D的坐标为（﹣2，1），
本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．
24、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）三面涂有颜色的小正方体是在8个顶点处，共8个，再根据概率公式解答即可；
（2）两面涂有颜色的小正方体是在12条棱的中间处，共24个，再根据概率公式解答即可；
（3）各个面都没有颜色的小正方体是在6个面的中间处，共8个，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：（1）因为三面涂有颜色的小正方体有8个，
所以P（三面涂有颜色）=；
（2）因为两面涂有颜色的小正方体有24个，
所以P（两面涂有颜色）=；
（3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，
所以P（各个面都没有涂颜色）=．
本题考查几何概率，等可能事件的概率=所求情况数与总情况数之比．关键是找到相应的具体数目．
25、x=或x=-1.
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】原方程化为2x2-x-3=0，
∴（2x-3）（x+1）=0，
∴x=或x=-1.
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
26、（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为26cm．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得CE＝ED，，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：∠ACO＝∠BCD．
（2）设⊙O的半径为Rcm，得到OE=OB-EB=R-8，根据垂径定理得到CE=CD=24=12，利用在RtCEO中，由勾股定理列出方程，故可求解．
【详解】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED，，
∴BCD=BAC
∵OA=OC，
∴OAC=OCA，
∴ACO=BCD
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-8，
CE=CD=24=12
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE
R= (R8) +12
解得：R=13，
∴2R=213=26
答：⊙O的直径为26cm．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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