资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2
2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
3．把两条宽度都为的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
5．为坐标原点，点、分别在轴和轴上，的内切圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．0 D．6
7．下列事件是必然事件的是( )
A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
8．在中，，已知和，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
10．在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）
A． B．
C． D．
11．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
12．如图，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，则EF的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．是关于的一元二次方程的一个根，则___________
14．已知关于的方程的一个解为，则m=_______．
15．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．
16．在△ABC中，已知（sinA-）2+│tanB-│=1．那么∠C=_________度．
17．如图，的顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，AB中点P恰好落在y轴上，则的面积为_____．
18．一个周长确定的扇形，要使它的面积最大，扇形的圆心角应为______度．
三、解答题（共78分）
19．（8分）阅读下面的材料：
小明同学遇到这样一个问题，如图1，AB=AE，∠ABC=∠EAD，AD=mAC，点P在线段BC上，∠ADE=∠ADP+∠ACB，求的值．
小明研究发现，作∠BAM=∠AED，交BC于点M，通过构造全等三角形，将线段BC转化为用含AD的式子表示出来，从而求得的值（如图2）．
（1）小明构造的全等三角形是：_________≌________；
（2）请你将小明的研究过程补充完整，并求出的值．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，若将原题中“AB=AE”改为“AB=kAE”，“点P在线段BC上”改为“点P在线段BC的延长线上”，其它条件不变，若∠ACB=2α，求：的值（结果请用含α，k，m的式子表示）．
20．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为B（3，4）、A（﹣3，2）、C（1，0），正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格上画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，点C2的坐标是 ；（画出图形）
（3）若M（a，b）为线段AC上任一点，写出点M的对应点M2的坐标 ．
21．（8分）△ABC在平面直角坐标系中如图：
（1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的,并写出点的坐标.
（2）画出将△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标.
（3）求在旋转过程中线段OA扫过的图形的面积.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞的解集；
（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BM，当S△ABM＝2S△OMP时，求点P的坐标．
23．（10分）如图，已知反比例函数（x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：∆ACB∽∆NOM；
（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
24．（10分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求的面积；
（2）观察图象，可知一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围是 ．
25．（12分）（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的表达式；
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2+bx+c表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程．
26．如图，在中，是边上的高，且．
（1）求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．
【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
2、B
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
【详解】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.
3、A
【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．
【详解】解：如图所示：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵=sinα，
∴BC=AB=，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=．
故选：A．
本题考查菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．
4、A
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°.
故选A.
5、A
【分析】先运用勾股定理求得的长，证得四边形为正方形，设半径为，利用切线长定理构建方程即可求解.
【详解】如图，过内心C作CD⊥AB、CE⊥AO、CF⊥BO，垂足分别为D、E、F，
∵，
∴，
，
∵CE⊥AO、CF⊥BO，
∴四边形为正方形，
设半径为，则
∵AB、AO、BO都是的切线，
∴，
，
∴，
即：，
解得：，
故选：A．
本题考查了切线长定理，勾股定理，证得四边形为正方形以及利用切线长定理构建方程是解题的关键.
6、A
【分析】将函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】
因此，二次函数的图象特点为：开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
则当时，二次函数取得最小值，最小值为．
故选：A．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象特征与性质是解题关键．
7、A
【解析】试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；
故选A．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8、B
【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠C的对边为c，∠A的对边为a，
∴sinA＝，
∴a＝c•sinA，．
故选：B．
考查了锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
9、B
【解析】如图所示：
∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中,OA=3√，OP=3，
∴PA=
故选B.
点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA⊥OA时，∠OPA最大”这一隐含条件. 当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
10、C
【分析】根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
【详解】∵在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为：．
故选：C．
此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
11、C
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【详解】原来这组数据的中位数为＝2，
无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2，
故选：C．
此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.
12、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【详解】∵AD∥BE∥CF，∴．
∵AB=3，BC=6，DE=2，∴，∴EF=1．
故选C．
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-1
【分析】将x=-1代入一元二次方程，即可求得c的值．
【详解】解：∵x=-1是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴c=-1，
故答案：-1．
本题考查了一元二次方程的解的定义，是基础知识比较简单．
14、0
【分析】把代入原方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：把代入原方程得：
故答案为：
本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程的解的含义是解题的关键．
15、1
【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，
∴，
∴，
∴或，
当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；
当7为腰长时，则
周长为：7+7+3=1；
故答案为：1．
本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．
16、2
【分析】直接利用非负数的性质和特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的度数，进而根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】∵(sinA)2+|tanB|=1，
∴sinA1，tanB1，
∴sinA，tanB，
∴∠A=45°，∠B=61°，
∴∠C=181°-∠A-∠B=181°-45°-61°=2°．
故答案为：2．
本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解答本题的关键．
17、1
【分析】过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，得到∠AED=∠BDP=90°，根据全等三角形的性质得到S△BDP=S△AED，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OBD=3，S△AOE=4，于是得到结论．
【详解】解：过A作AE⊥y轴于E，过B作BD⊥y轴于D，
∴∠AED=∠BDP=90°，
∵点P是AB的中点，
∴BP=AP，
∵∠BPD=∠APE，
∴△BPD≌△APE（AAS），
∴S△BDP=S△AED，
∵顶点A在双曲线，顶点B在双曲线上，
∴S△OBD=3，S△AOE=4，
∴△OAB的面积=S△OBD+S△AOE=1，
故答案为：1．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
18、
【分析】设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．
【详解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a-2r，
所以S=（a-2r）r=-（r-）2+．
故当r=时，扇形面积最大为．
∴
∴此时，扇形的弧长为2r，
∴，
∴
故答案为：．
本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据已知条件直接猜想得出结果；
（2）过点作交于点，易证，再根据结合已知条件得出结果；
（3）过点作交于点，过点作，得出，根据相似三角形的性质及已知条件得出，进而求解．
【详解】（1）解：；
（2）过点作交于点．
在中和，，，，
∴．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∵．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：过点作交于点．
在中和，，，
∴．
∴，．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
过点作．
∴，，．
在中，，
∴．
∴
．
∴．
本题考查了三角形全等的性质及判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质并能灵活运用.
20、（1）作图见解析，（1，-4）；（2）作图见解析，(2，2)；（3）(，)
【分析】（1）将点A、B、C分别向下平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）根据（2）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C2的坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，-4），
故答案为：（1，-4）；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，点C2的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）；
（3）若M（a，b）为线段AC上任一点，
则点M的对应点M2的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
此题主要考查了位似变换，正确得出图形变化后边长是解题关键．
21、 (1)(-3,2)；(2)(2,-3)；(3)S=
【分析】（1）根据题意利用旋转作图的方法画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的以及写出点的坐标即可；
（2）根据题意利用作轴对称图形的方法画出将△ABC关于x轴对称的并写出点的坐标即可；
（3）由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，求出这个四分之一的圆即可求出线段OA扫过的图形的面积.
【详解】解：（1）如图：
由图像可得的坐标为(-3,2)；
（2）如图：
由图像可得的坐标为(2,-3)；
（3）由题意可知OA扫过的图形是一个以OA长为半径的四分之一的圆，
已知A（2，3），利用勾股定理求得OA= ，
所以线段OA扫过的图形的面积为：=.
本题考查旋转作图和作轴对称图形，熟练掌握并利用旋转作图和作轴对称图形的方法和技巧是解题的关键.
22、（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）不﹣1＜x＜0或x＞3；（3）点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入一次函数解析式y=2x+b，可得b=-4，m=-6，将点C坐标代入反比例函数解析式，可求k的值，即可得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求得直线与反比例函数的交点坐标，然后根据图象求得即可；
（3）由S△ABM=2S△OMP=6，可求AM的值，由点A坐标可求点M坐标，即可得点P坐标．
【详解】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0
∴b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4
将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m
∴m＝﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
将C（﹣1，﹣6）代入y＝，得﹣6＝，
解得k＝6
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解得或，
∴直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，﹣6）和D（3，2）．如图，
由图象可知：不等式2x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）∵S△ABM＝2S△OMP，
∴×AM×OB＝6，
∴×AM×4＝6
∴AM＝3，且点A坐标（2，0）
∴点M坐标（﹣1，0）或（5，0）
∴点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法把A、C两点坐标代入解析式求m，b，k的值是解题的关键．
23、（1）；（2）证明见解析；（3），.
【解析】试题分析：（1）把 A 点坐标代入可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数 解析式可得=n，则，而，可得，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得
△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB 与△NOM 的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．
试题解析：（1）∵（x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵点 A（1，4），点 B（m，n），
∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，
∴，
∵B（m，n）在y=上，
∴=n，
∴，而，
∴，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB 与△NOM 的相似比为 2，
∴m-1=2，m=3，
∴B（3，），
设AB所在直线解析式为 y=kx+b，
∴，
解得，
∴AB的解析式为y=-x+．
考点：反比例函数综合题．
24、（1）4；（1）或
【分析】（1）首先解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组即可求得A和B的坐标；然后求得AB和x轴的交点，然后根据S△AOB=S△AOC+S△OBC即可求解；
（1）一次函数值小于反比例函数值，即对相同的x的值，一次函数的图象在反比例函数的图象的下边，据此即可求得x的范围．
【详解】解：（1）解方程组，
即，解得：x=3或−1，
则或，
∴A(3，1)，B(−1，−3)；
设一次函数与x轴的交点为C，如下图：
在y=x−1中，令y=0，解得：x=1，
则C的坐标是(1，0)，则OC=1．
∴S△AOB=S△AOC+S△OBC=；
（1）根据图象所示：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下边，
此时一次函数值小于反比例函数值，
故答案为：或．
本题考查一次函数与反比例函数的有关知识，掌握用方程组求交点坐标，求三角形面积时关键找到特殊点，用分割法解决面积问题，属于中考常考题型．
25、（1）y＝x2﹣4x+1；（2）题目见解析，求解过程见解析．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可求出b、c的值；
（2）写出把（4，1）换成它关于直线x＝2的对称点（0，1），利用待定系数法求出抛物线的解析式与（1）中的解析式相同．
【详解】（1）根据题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1；
（2）题目：已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（0，1），求这个二次函数的表达式；
根据题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
26、（1）；（2）
【分析】(1) 是边上的高，且，就可以得出，可得∠A=∠BCD，由直角三角形的性质可求解；
(2证明，可得，再把代入可得答案．
【详解】（1）证明：在中，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知是直角三角形，在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．
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