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三角形“四心”的向量表示
我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。
一． 各心的定义。
1． 重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。
2． 垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。
3． 外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。
4． 内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。
二． 各心的向量表示。
在三角形ABC中，点为平面内一点，若满足：
1．，则点为三角形的重心。
分析：由，以为邻边作一平行四边形，
点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，
有，交BC于D，从而有
故为重心。

2．，则点为三角形的外心。
3．，
或者，则点为三角形的垂心。
分析：由有三个等式，其中一个如，
则有，有，故。同理可证，点为三角形的垂心。

而在三角形ABC中，记，，，则由
，展开为，则
故 ，同理可证，从而点为三角形的垂心。
4．，则点为三角形的内心。
分析：若点为三角形的内心。如图，延长，过点C作，由于相似，有，由AD为角A的平分线，有，从而有，故

同理可得，，，而BO为角B的内角平分线，，
有，故
而，所以，
，有
三． 动点的轨迹过三角形心的问题：
设点P为三角形所在平面内的一个定点，点Q为平面内的一个动点，若满足：
1．，（其中），则动点Q一定过的重心。
2．，（其中），则动点Q一定过的内心。
分析：由于表示方向的单位向量之和，由菱形性质可知，
为角A的内角平分线。
3．（其中），则动点Q一定过 的垂心。
分析：下面只需说明的性质。
如图，在中，延长AD，过点B作记
则，，故有
，，

由，从而有，
，有与共线，
从而，与垂直。
4．（其中），则动点Q一定过的外心。
四．三角形的外心与它的垂心H的关系：
。
在中，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立坐标系。设，
，。则不难求得它的外心坐标，从而有
。它的垂心坐标，从而有
。
向量作为一种新的知识，其在不少的规律上有简明的表现，蕴含丰富的规律。只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。

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