椭圆内接三角形的最大面积.doc

椭圆内接三角形的最大面积
最早接触到这个题目时是在一节数学课上，当时有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，胡远东老师于是提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下：
首先我们在椭圆上任意找两相异点A、B，连接AB
在椭圆上找一点C使得C处的切线l斜率等于kAB，存在两点C，选择使面积较大的一个C，这样以AB为一边的三角形中，三角形ABC面积最大。
平移AB，可以找到一个更大的三角形A’B’C，如果我们证明每一个这样的三角形A’B’C面积相等，那么这样的三角形A’B’C的面积都是最大面积。
反过来，若固定一个C点，作其切线l，在椭圆上找一平行于l的弦ABC，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC与上述三角形A’B’C一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC面积相等。

证明：设椭圆的方程为 (a>b>0)，C点坐标为（x0，y0）。
两边对x求导，，所以y’=
所以
设AB方程为y=则
y= （1）
（2）
（3）
（1）（2）联立得
又因为
而

所以

令

令h‘（m）=0，则（重根舍）或（此时可验证h‘‘（）＜0）
∴当有h（m）=h（m）max
此时S（m）=S（m）max=
即每一个三角形ABC面积相等。

下面进一步探究这个结果S（m）max=
ab是半长轴半短轴之积，而正是边长为的三角形的面积
而此正三角形正是单位圆中的最大三角形面积——正三角形。
此时
于是想到一个更快捷但是不完善的证明：
∵ (a>b>0)
令x‘=ax④，
y’=by⑤
则x²+y‘²=1
而在此三角形中最大面积为。
④⑤式可看作为一种“放缩变换”，那么椭圆最大内接三角形与此正三角形
的面积比为“放缩率”为，即
∴Smax= ab