三角形五心的证明.doc

三角形五心
内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。
外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。
旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心）
垂心：三条高的交点。
重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

内心：三条角平分线的交点
证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的
距离相等）得：
OD=OF，OF=OE
∴ OD=OE
∴AO为角BAC的平分线

外心：三条中垂线的交点
证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。
由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到
两端点的距离相等），得：
OA=OB，OA=OC.
∴OB=OC
∴点O在线段BC的中垂线上
∴OF为线段BC的中垂线

旁心：
证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。
由角平分线定理（角平分线上一点到两边的
距离相等）得：
OD=OF，OD=OE
∴ OF=OE
∴BO为角ABC的平分线

垂心：三条高的交点
证：连结DE，连结AO交BC于F点。
∵角BDC=角BEC=90°
∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。
∴角FBO=角CDE ······①
（同弦(弧)所对圆周角相等）
又∵角ODA=角AEO=90°
∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。
∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）
且 角AOE=角BOF
∴角ADE=角BOF ······②
由①②可知，角OFB=角ODA=90°
∴AF为BC边上的高。

重心：三条中线的交点
方法一：
证：连结AO交BC于点F。
∵D为AB的中点
∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）
（底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)）
S△AOD=S△BOD
∴S△AOC=S△BOC ······①
同理可得：
S△BOC=S△AOB ······②
由①②得，S△AOC=S△AOB
又∵△AOC与△AOB底都为AO
∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。
对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。
∴S△AFB=S△AFC
又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC的距离）。
∴它们底相等，即：BF=CF
∴AF为三角形的中线。

方法二：
证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，
G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。
连GH交AF于点M。
∵DE为△ABC的中位线
∴DE#1/2BC （#表示平行且等于）
同理，可得：GH#1/2BC
∴DE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。
易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN
∵DG为△ABO的中位线
∴DG∥NM,即四边形DGMN为平行四边形
∴DN=GM
∴HM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。
∴AF为三角形的中线。

三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。