三角形证明全章热门考点整合应用.doc

三角形证明全章热门考点整合应用
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(　　)
A．有一个锐角小于45°　B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．

互逆命题
3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．
(1)③和⑤是互逆命题吗？
(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？
(3)请指出哪几个命题是互逆命题．

互逆定理
4．下列三个定理中，存在逆定理的有(　　)个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)等角的补角相等．

六个性质
全等三角形的性质
6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．

(第6题)

等腰三角形的性质
7．【 2017·绍兴】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________.
②求α，β之间的关系式．
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．

(第7题)

等边三角形的性质
8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD.
(第8题)
直角三角形的性质
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．
(第9题)

线段垂直平分线的性质
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.

(第10题)

角平分线的性质
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.

(第11题)

四个判定
三角形全等的判定
12．【 中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)AB∥DE.
(第12题)

等腰(边)三角形的判定
13．【 2017·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．

(第13题)

直角三角形的判定
14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．
(第14题)

线段的垂直平分线与角平分线的判定
15．【 中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
(第15题)

四个技巧
构造全等三角形
16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.
(第16题)

构造等腰三角形的“三线合一”
17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．
(第17题)

构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段
18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：DF＝DC.
(第18题)

构造角平分线上的点到角两边的垂线段
19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.
(第19题)

一个应用——最短路线的应用
20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．

(第20题)

第一章测评
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为( )
A.40° B.30° C.70° D.50°

2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
3.(2017·浙江台州中考)如图,已知在△ABC中,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
4.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足为点D,且PC=4,则PD的大小是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2017·海南中考)已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
6.用反证法证明“在△ABC中,最多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角

7.如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形.有下列结论:
①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD;④∠ABE=60°.其中正确结论的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.65° B.60° C.55° D.45°
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则有下列结论:(1)AD上任意一点到AB,AC的距离相等;(2)∠BDE=∠CDF;(3)BD=CD,AD⊥BC.其中正确的是( )
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)

10.如图,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定点P的方法正确的是( )
A.点P为∠A,∠B两角的平分线的交点 B.点P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.点P为AC,AB两边上的高的交点 D.点P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(2017·江西中考)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A= 度.

12.已知△ABC是等边三角形,AB=10 cm,则△ABC的面积是 cm2. 

13.如图所示,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数是 . 

14如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若∠CBA=32°,则∠DFE的度数是 . 

15.如图所示,AB∥CD,O为∠A,∠C的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE=1,则AB与CD之间的距离是 . 

16.如图所示,∠ABC=60°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是 . 

三、解答题(共52分)

17.(5分)(2017·湖南郴州中考)已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD.

18.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证:DC=AB.

19. (6分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.

20. (6分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.

21.(6分)如图所示,直线OA,OB表示两条相互交叉的公路,点M,N表示两个蔬菜基地.现要建立一个蔬菜批发市场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路OA,OB的距离相等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方?

22. (7分)如图①,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E在AD上.

(1)求证:BE=CE;
(2)如图②,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.

23.(7分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,且CD⊥AB.
求证:(1)AB=2BC;
(2)CE=AE=EB.

24. (9分)八年级(1)班的同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图),设计了如下方案:
①∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
②∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案①、方案②是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.
(2)在方案①PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.