三角形的五心向量结论证明.doc

三角形的五心向量结论证明
1. 是的重心(其中是三边)
P1

P3
O
P

证明：充分性: 是的重心
若，则，以，为邻边作平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线，所以，为的重心。
2.在
中，给出
等于已知AD是
中
BC边的中线;

* △ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心

*为△ABC的重心(P是平面上任意点).
证明
∵G是△ABC的重心
∴==，即
由此可得.(反之亦然(证略))
*若O是的重心，则

2.
* 点是的垂心
证明：是的垂心,

同理
故当且仅当.
* O是△ABC所在平面内一点
则O是△ABC的垂心
证明：由，得，所以。同理可证。容易得到由以上结论知O为△ABC的垂心。
* 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心

* 若H是△ABC(非直角三角形)的垂心，
则
S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC

故tanA·+tanB·+tanC·=
3.点是的外心．
证明：O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等)

(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点)
A
B
C
D
O
*若点O为△ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得由题意得，所以，得。故点O为△ABC的外心。
*两点分别是的边上的中点,且

若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C 故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=
l 证明：设点在内部，由向量基本定理，有，则设：，则点为△DEF的重心， 又，，，∴
l 若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C

故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=
4.是的内心。(其中是三边)

证明：充分性： 是的内心
=
所以，而，分别是，方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到点是的内心。

*为的内心. 内心（角平分线交点）
证明：分别为方向上的单位向量，平分,
)，
同理：

得代入解得，
（)
化简得，

* 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
* 设，则向量必平分∠BAC的邻补角
*

*O是△ABC的内心充要条件是

*若O是△ABC的内心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c

故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=;

*设为△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC的内心，
*
内心I（，）
证明：由是的内心。(其中是三边)（见内心的充要条件的证明）

, ∴I（，）.
是的内心。(其中是三边)
5. 若o为三角形的旁心，则a=b+c(abc是三边)

*已知为的外心，求证：．
分析　构造坐标系证明．如图３，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方．，直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．
直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．
于是，容易验证，，
又，，， 又， 则所证成立．
与三角形“四心”相关的向量结论

随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。
问题：设点在内部，且有，则与的面积的比值是____.
　 分析：∵ 设，则，
　　 则点为的重心.∴.
　　 而 ，　∴.
探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。
结论： 设点在内部，若，则
证明： 已知点在内部，且
设：，则点为△DEF的重心，
又，，，
∴
　　说明: 此结论说明当点在内部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。
　　应用举例：设点在内部，且，则的面积与的面积之比是：
A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2
分析：由上述结论易得：，所以，故选D
当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。

　引申：设点在内部，且角所对应的边分别为
结论1：若为重心，则
分析：重心在三角形的内部，且重心把的面积三等分.
　结论2 ：为内心，则
　　 分析：内心在三角形的内部，且易证S△BOC：S△COA：S△AOB=
　结论3： 为的外心，则　　
分析： 易证S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.
　　 由结论3及结论：为的外心，为的垂心，则可得结论4。
结论4：若为垂心，则

即　
证明：∵对任意有，其中为外心，为垂心，
　 　∴，
　　 则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数，使得，
即，由结论3得：
所以有：，
所以可得：　　　
化简后可得：　

应用举例：
例1：已知为的内心，且，则角的余弦值为 。
分析：由结论2可得，所以由余弦定理可得：
例2：已知的三边长为，设的外心为，若，
求实数的值。
　　分析： ，整理后即得：.
　　 由结论3可得：，又易得，
　 ∴.
点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组：

解方程组可得结果。
例3：设是的垂心，当时，，求实数的值.
　　 分析： 由结论4可得：　.
　　 而，整理后得：
由，可得，
∴.　而，
解得，　∴.
点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。
通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。
设O是内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。

并设

显然不共线，由平面向量基本定理，可设则　　　

（ⅰ）若O是的内心，则　
故　　
必要性得证．同时还可得到以下结论
（ⅱ）若O是的重心，则
故
（ⅲ）若O是的外心
则
故
O
F
E
D
C
B
A

（ⅳ）若O是(非直角三角形)的垂心，
则
故
证明：（A 、E、O 、F四点共圆）同理

因此只需证

先证第一个等式

（E 、C、D、O四点共圆,为的补角；E 、O、F、A四点共圆,为的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。