常微分方程答案第三章.doc

习题3.1
1. 求方程通过点(0,0)的第三次近似解。
解：，令，则

为所求的第三次近似解。

3. 求初值问题
(1)
的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。
解：因为，，，所以，从而解得存在区间为，即。
又因为在上连续，且由可得在上关于满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题在有唯一解。
令，则

误差为：
10. 给定积分方程
(*)
其中是上的已知连续函数，是，上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在上存在唯一的连续解。
证明：分四个步骤来证明。

㈠. 构造逐步逼近函数序列

由是上的连续函数可得在上连续，故再由是，上的连续函数可得在上连续，由数学归纳法易证在上连续。

㈡. 证明函数列在上一致收敛。
考虑级数
(2)
由

知，的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。
令，。由有

所以

假设对正整数，有不等式
(3)
则

所以对任意正整数都成立。
因为为正项级数，且当足够小时，
(4)
故收敛，从而由Weierstrass判别法，级数一致收敛，故级数一致收敛，所以函数列在上一致收敛。

㈢. 证明是积分方程(*)在上的连续解。
因为由㈠和㈡可得在上连续，在上一致收敛，故在上连续，且函数列在上一致收敛，所以对

两边取极限可得

从而

所以是积分方程(*)在上的连续解。

㈣. 证明是积分方程(*)在上的唯一解。
设是积分方程(*)在上的另一连续解，则

令，则

对都成立，上式两边对取最大值可得

如果，则由上式有

这与矛盾，故，即，所以，从而是积分方程(*)在上的唯一解。
证毕。