圆的方程习题(含答案).doc

圆的方程 习题（含答案）

一、单选题
1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是(　　)
A． (x＋2)2＋(y－3)2＝4
B． (x＋2)2＋(y－3)2＝9
C． (x－2)2＋(y＋3)2＝4
D． (x－2)2＋(y＋3)2＝9
2．当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接它与定点Q3,0，线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　）
A． x+32+y2=1 B． x-32+y2=1
C． 2x-32+4y2=1 D． 2x+32+4y2=1
3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为(　　)
A． 9π B． π C． 2π D． 由m的值而定
4．圆x2+y2+22x=0的半径是（ ）
A． 2 B． 2 C． 22 D． 4
5．已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为
A． x+y-3=0 B． x+y+3=0 C． 3x-3y+4=0 D． 7x+y-9=0
6．若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A(-1,0)，B(1,0)为两个定点，则PA+PB的最大值为（ ）
A． 2 B． 22 C． 4 D． 42
7．已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A． 2 B． 42 C． 6 D． 210
8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a-2)2+（b-2）2的最小值为
A． 5 B． 5 C． 25 D． 10
9．若x,a,b均为任意实数，且(a+2)2+(b-3)2=1，则(x-a)2+(lnx-b)2 的最小值为（ ）
A． 32 B． 18 C． 32-1 D． 19-62

二、填空题
10．如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP⋅OQ的取值范围为____．

11．已知x,y满足x2－4x－4＋y2＝0, 则x2+y2的最大值为____
12．若直线l：2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为______．
13．设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点，若AB=23，则圆C的面积为________.
14．已知圆的圆心在曲线xy=1（x>0)上，且与直线x+4y+13=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2,-1)的圆C和直线 x+y=1相切，且圆心在直线 y=-2x上，则圆C的标准方程为______．
16．已知圆C的圆心在直线2x-y=0上，且经过A(6,2)，B(4,8)两点，则圆C的标准方程是__________．
17．在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则三角形OAB的外接圆方程是__________．
18．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A，B同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中，AP⋅AQ的最大值是_______.

三、解答题
19．设抛物线C：  y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB| =8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．已知圆C:x2+y2+2x-7=0内一点P(-1,2)，直线l过点P且与圆C交于A，B两点.
（1）求圆C的圆心坐标和面积；
（2）若直线l的斜率为3，求弦AB的长；
（3）若圆上恰有三点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
21．已知点Mx0,y0在圆O:x2+y2=4上运动，且存在一定点N6,0，点Px,y为线段MN的中点.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过A0,1且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F，是否存在实数k使得OE⋅OF=12，并说明理由.
22．已知圆经过两点，并且圆心在直线上。
(1)求圆的方程；
(2)求圆上的点到直线的最小距离。
23．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
24．已知点A1,-2,B-1,4，求
（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程．
25．已知Rt△ABC的顶点A(8,5)，直角顶点为B(3,8)，顶点C在y轴上；
（1）求顶点C的坐标；
（2）求Rt△ABC外接圆的方程．
26．如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且，
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度.

27．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为x=3cosθy=2sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换x'=13xy'=12y得到曲线C'.
（Ⅰ）求曲线C'的普通方程；
（Ⅱ）若点A在曲线C'上，点B(3,0)，当点A在曲线C'上运动时，求AB中点P的轨迹方程.

试卷第4页，总4页

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
因为与y轴相切，所以可知圆的半径r=2，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。
【详解】
圆心为(2，－3)并且与y轴相切
所以半径r=2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4
所以选C
【点睛】
本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。
2．C
【解析】
【分析】
设动点P(x0,y0)，PQ的中点为Mx,y，由中点坐标公式解出x0=2x-3，y0=2y，将点P(2x-3,2y)代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．
【详解】
设动点P(x0,y0)，PQ的中点为Mx,y，可得x=x0+32y=y02，得x0=2x-3，y0=2y.
∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动
∴(2x-3)2+(2y)2=1，化简得2x-32+4y2=1.
∴所求动点M的轨迹方程是2x-32+4y2=1.
故选C.
【点睛】
求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x， y之间的关系Fx,y=0；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点Px,y依赖于另一动点Qx0,y0的变化而运动，常利用代入法求动点Px,y的轨迹方程．
3．B
【解析】
【分析】
由圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程求出m的值，求出圆的方程后并配方求圆的半径，代入圆的面积求解即可．
【详解】
∵圆的方程是：x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0，
∴圆心坐标是（2m+1，m），
∵圆心在直线x+y﹣4=0上，∴2m+1+m﹣4=0，解得m=1，
则圆的方程是：x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，
∴半径r=1，圆的面积S=πr2=π，
故选：B．
【点睛】
本题考查由圆的一般式方程求圆心和半径的方法：公式法和配方法，属于基础题．
4．A
【解析】分析：一般方程转化为标准方程，即可得到半径值。
详解：把一般方程转化为圆的标准方程x+22+y2=2
由标准方程，可知半径为2
所以选A
点睛：本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，根据标准方程求圆心或半径，属于基础题。
5．A
【解析】
【分析】
两个圆相减，可得交点弦所在的直线方程；再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系，求得AB的垂直平分线方程。
【详解】
圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A、B两点
所以AB所在的直线方程为两个方程相减，得3x-3y+4=0
AB垂直平分线的斜率为x+y+b=0
圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0的圆心为（1,2）
将（1,2）代入x+y+b=0解得b=-3
所以AB的垂直平分线的方程为x+y-3=0
所以选A
【点睛】
本题考查了圆方程的简单应用，注意相关性质的用法，属于基础题。
6．B
【解析】∵∠APB=90°，∴PA2+PB2=4
由不等式可得PA+PB22≤PA2+PB22=2
∴PA+PB≤22
故选：B
7．C
【解析】试题分析：直线l过圆心，所以a=-1，所以切线长AB=(-4)2+1-4×(-4)+2+1=6，选C.
考点：切线长
视频
8．B
【解析】由圆的方程知圆心为(-2,-1)，所以2a+b=1，(a-2)2+（b-2）2 的几何意义为直线2a+b=1上的动点(a,b) 与定点(2,2) 的距离的平方，故过点(2,2)向直线2a+b=1作垂线段，其长的平方最小，最小值为d2=(|4+2-1|5)2=5，故选B.
9．D
【解析】
【分析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线y=lnx上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线y=lnx上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.
【详解】
由题意可得，其结果应为曲线y=lnx上的点与以C(-2,3)为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线y=lnx上的点与圆心C(-2,3)的距离的最小值，在曲线y=lnx上取一点M(m,lnm)，曲线有y=lnx在点M处的切线的斜率为k'=1m，从而有kCM⋅k'=-1，即lnm-3m+2⋅1m=-1，整理得lnm+m2+2m-3=0，解得m=1，所以点(1,0)满足条件，其到圆心C(-2,3)的距离为d=(-2-1)2+(3-0)2=32，故其结果为(32-1)2=19-62，
故选D.
【点睛】
本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.
10．2-1，1.
【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出OP⋅OQ 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.
详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,
设P(cosα,sinα) (0≤α≤π2)，Q(x0,y0)，
所以PQ的中点(x0+cosα2,y0+sinα2)，
由题得kPQ=sinα-y0cosα-x0=1x0+cosα2+y0+sinα2-1=0,∴x0=1-sinα y0=1-cosα
所以OP⋅OQ=cosα(1-sinα)+sinα(1-cosα)=sinα+cosα-2sinαcosα
设t=sinα+cosα=2sin(α+π4),t∈[1,2]，
所以sinαcosα=t2-12，
所以OP⋅OQ=1-t2+t，t∈[1,2]
所以当t=1时函数取最大值1，当t=2时函数取最小值2-1.
故答案为：2-1，1
点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数OP⋅OQ的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.
11．12+82
【解析】
【分析】
现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据x2+y2的意义，结合图形即可求解．
【详解】
由题意，曲线x2-4x-4+y2=0，即为(x-2)2+y2=8，
所以曲线表示一个圆心在(2,0)，半径为22的圆，
又由x2+y2表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2，
所以原点到圆上的点的最大距离为2+22，
所以x2+y2的最大值为2+222=10+82．
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把x2+y2转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
12．3+22
【解析】
【分析】
先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得a+b=1。又A(1a,0),B(0,2b)，
|OA|+|OB| =1a+2b，由均值不等式可求得最值。
【详解】
由题意可得(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得a+b=1，又A(-1a,0),B(0,2b)，
所以|OA|+|OB| =1a+2b =(1a+2b)(a+b)≥(1+2)2=3+22
当且仅当b=2a时等号成立。
【点睛】
本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心。
13．4π
【解析】
分析：根据弦长，求半径。应求圆的圆心、半径，弦心距。故将圆C:x2+y2-2ay-2=0的方程变为标准方程得x2+(y-a)2=a2+2。可得圆心为C(0,a)，半径为r=a2+2。然后求圆心到直线y=x+2a的距离为d=|0-a+2a|12+(-1)2=2a2。由为弦长 AB=23，可得32+（2a2)2=a2+22 即a2=2。进而可得半径r=a2+2=2。可求圆C的面积为π×22=4π。
详解：圆C:x2+y2-2ay-2=0的方程变为标准方程得x2+(y-a)2=a2+2。
所以圆心为C(0,a)，半径为r=a2+2。
直线y=x+2a化为x-y+2a=0
圆心到直线y=x+2a的距离为d=|0-a+2a|12+(-1)2=2a2。
因为 AB=23，
所以32+（2a2)2=a2+22 即a2=2
所以半径r=a2+2=2。所以圆C的面积为π×22=4π。
点睛：解决与直线和圆相交弦长有关的问题，注意以弦长一半、弦心距、半径为三边长的直角三角形的三边长关系。本题考查学生的转化能力、运算能力。
14．(x-2)2+(y-12)2=17
【解析】
【分析】
圆的面积最小等价于圆的半径最小，根据点到直线距离公式，利用基本不等式可得结果.
【详解】
圆的面积最小等价于圆的半径最小
因为圆的圆心在曲线xy=1（x>0)上，
所以可设圆心为(a,1a)，a>0，
与直线x+4y+13=0相切，
所以圆的半径等于圆心到直线x+4y+13=0的距离为d=|a+4a+13|17≥1717=17，∴rmin=17,此时a=2，
圆的标准方程为(x-2)2+(y-12)2=17，故答案为(x-2)2+(y-12)2=17.
【点睛】
本题主要考查圆的方程和性质、属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标x,y ，根据题意列出关于x,y的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.
15．(x-1)2+(y+2)2=2
【解析】
∵圆心在y=2x上，∴可设圆心坐标为a,-2a，又∵圆过A2,-1，圆C和直线 x+y=1相切，∴a-22+-2a-12=a-2a-12，解得a=1,∴圆半径r=1-2-12=2，圆心坐标1,-2,∴圆方程为x-12+y+22=2，故答案为x-12+y+22=2.
16．(x-2)2+(y-4)2=20
【解析】分析：设圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2，再把A(6,2)，B(4,8)两点的坐标代入圆的方程求出a和r即得圆的标准方程.
详解：设圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2，
把A(6,2)，B(4,8)两点的坐标代入圆的方程得(6-a)2+(2-2a)2=r2且(4-a)2+(8-2a)2=r2.
解之得a=2,r=25,
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.故答案为：(x-2)2+(y-4)2=20.
点睛：（1）本题主要考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.
17．x2+y2-6x-2y=0
【解析】
分析：可以设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O,A,B三点在圆上，三点坐标代入所设方程，解方程组可得D,E,F的值，从而可得三角形OAB的外接圆方程.
详解：设三角形OAB的外接球方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，由点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)在圆上可得，F=04+16+2D+4E=036+4+6D+2E=0，解得F=0D=-6E=-2，故三角形的外接球方程为x2+y2-6x-2y=0，故答案为x2+y2-6x-2y=0.
点睛：本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标x,y ，根据题意列出关于x,y的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
18．2
【解析】
【分析】
利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出∠BOQ=α后，推出∠AOP=2α，然后根据三角函数坐标定义可得P、Q两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．
【详解】
设∠BOQ=α，根据题意得，∠AOP=2α，且α∈0，π2，
依题意得Qcosα，sinα，P-cos2α，-sin2α，
∴AP•AQ=-cos2α+1，-sin2α⋅cosα+1，sinα =-cos2α+1cosα+1-sin2αsinα =2sin2α≤2，当且仅当α=π2时，等号成立．故答案为：2
【点睛】
本题考查了三角函数定义，向量数量积等概念，本题根据题意求出依题意得Qcosα，sinα，P-cos2α，-sin2α，是解决本题的关键.
19．(1) y=x–1,(2)(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144．
【解析】
【详解】
分析：(1)根据抛物线定义得|AB|=x1+x2+p，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.
详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由y=k(x-1)y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0．
Δ=16k2+16=0，故x1+x2=2k2+4k2．
所以AB=AF+BF=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2．
由题设知4k2+4k2=8，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
y-2=-(x-3)，即y=-x+5．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
y0=-x0+5，(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3，y0=2或x0=11，y0=-6.
因此所求圆的方程为
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144．
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
20．(1)见解析;(2)27;(3)x-y+3=0，或x+y-1=0．
【解析】
【分析】
（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆C的圆心坐标为(-1,0)，半径r=22即可。
（2）先求圆心到直线的距离为d，再利用半径r，距离d，半弦长构成直角三角形求解即可。
（3）圆上恰有三点到直线l的距离等于2，等价于圆心(-1,0)到直线AB的距离为r2=2，利用点到直线的距离公式求解。
【详解】
（1）圆C的圆心坐标为(-1,0)，半径r=22，面积为S=8π；
（2）直线l的方程为y-2=3(x+1)，即3x-y+2+3=0，
圆心到直线的距离为d=-3+2+3(3)2+1=1，
AB=2r2-d2=2(22)2-1=27；
（3）因圆上恰有三点到直线l的距离等于2，转化为
则圆心(-1,0)到直线AB的距离为r2=2，
当直线l垂直于x轴时，显然不合题意；
设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+2+k=0，
由d=-k+2+kk2+1=2k2+1=2，解得k=±1，
故直线l的方程为x-y+3=0，或x+y-1=0．
【点睛】
利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为AB=2r2-d2。设点A(x0,y0)，直线方程为Ax+By+C=0，点到直线的距离公式为d=|Ax0+By0+C|A2+B2.
21．（1）x-32+y2=1；（2）见解析.
【解析】分析：（1）由中点坐标公式，可得x0=2x-6，y0=2y.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为x-32+y2=1.
（2）设Ex1,y1，Fx2,y2，联立直线与圆的方程可得1+k2x2-23-kx+9=0，
由直线与圆有两个交点可得-34<k<0，结合韦达定理可得x1x2=91+k2，y1y2=kx1+1kx2+1= 8k2+6k+11+k2.则OE⋅OF=x1x2+y1y2=8k2+6k+101+k2=12.解得k=12或1，不合题意，则不存在实数k使得OE⋅OF=12.
详解：（1）由中点坐标公式，得x=x0+62y=y02
即x0=2x-6，y0=2y.
∵点Mx0,y0在圆x2+y2=4上运动，
∴x02+y02=4，
即2x-62+2y2=4，
整理，得x-32+y2=1.
∴点P的轨迹C的方程为x-32+y2=1.
（2）设Ex1,y1，Fx2,y2，直线l的方程是y=kx+1，
代入圆x-32+y2=1.
可得1+k2x2-23-kx+9=0，
由Δ=-32k2-24k>0，得-34<k<0，
且x1+x2=23-k1+k2，x1x2=91+k2，
∴y1y2=kx1+1kx2+1=k2x1x2+kx1+x2+1
=9k21+k2+ 2k3-k1+k2+1= 8k2+6k+11+k2.
∴OE⋅OF=x1x2+y1y2=8k2+6k+101+k2=12.
解得k=12或1，不满足Δ>0.
∴不存在实数k使得OE⋅OF=12.
点睛：与圆有关的探索问题的解决方法：
第一步：假设符合要求的结论存在．
第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．
第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．
第四步：给出明确结果．
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．
22．（1）.（2）1
【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。
试题解析：
（1）设圆的方程为，
由已知条件有 ，
解得
所以圆的方程为
.
（2）由（1）知，圆的圆心为，半径r=4,
所以圆心到直线的距离
则圆上点到直线的最小距离为。
点睛：解决圆中的最值问题时，一般不直接依赖纯粹的代数运算，而是借助平面几何的相关知识，使得解题变得简单且不易出错。常用结论有：①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径；②当点在圆外时，圆上的点到该点的最小（大）距离等于圆心到该点的距离减去（加上）半径。
23．（1）x-32+y-12=9；（2）a=-1.
【解析】
分析：（1）因为曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点。曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为3+22,0, 3-22,0．由与x轴的交点为3+22,0, 3-22,0关于点(3,0)对称，故可设圆C的圆心为3,t，由两点间距离公式可得32+t-12=222+t2，解得t=1．进而可求得圆C的半径为32+t-12=3，然后可求圆C的方程为x-32+y-12=9．（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由OA⊥OB可得OA⊥OB，进而可得x1x2+y1y2=0，减少变量个数。因为y1=x1+a，y2=x2+a，所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0．要求值，故将直线与圆的方程联立可得x-y+a=0,x-32+y-12=9.，消去y，得方程2x2+2a-8x+a2-2a+1=0。因为直线与圆有两个交点，故判别式Δ=56-16a-4a2>0，由根与系数的关系可得x1+x2=4-a，x1x2=a2-2a+12．代入2x1x2+a(x1+x2)+a2=0，化简可求得a=-1，满足Δ>0，故a=-1．
详解：（1）曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为
3+22,0, 3-22,0．故可设C的圆心为3,t，则有32+t-12=222+t2，解得t=1．则圆C的半径为32+t-12=3，所以圆C的方程为x-32+y-12=9．
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，其坐标满足方程组x-y+a=0,x-32+y-12=9.
消去y，得方程2x2+2a-8x+a2-2a+1=0．
由已知可得，判别式Δ=56-16a-4a2>0，且x1+x2=4-a，x1x2=a2-2a+12． 
由于OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0．
又y1=x1+a，y2=x2+a
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0． ‚
由‚得a=-1，满足Δ>0，故a=-1．
点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：
① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；
②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径。
（2）直线与圆或圆锥曲线交于A，B两点，若OA⊥OB，应设Ax1,y1，Bx2,y2，可得x1x2+y1y2=0。可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入x1x2+y1y2=0，化简求值。
24．（1）x2+y-12=10；（2）x-32+y-22=20
【解析】
【分析】
(1)当AB为直径时，过A,B的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．
(2) 解法1：AB的斜率为k=-3时，则AB的垂直平分线的方程x-3y+3=0，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；
解法2：设圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2，列方程组，求得a,b,r的值，即可得到圆的方程．
【详解】
(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，
半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝13x.即x－3y＋3＝0
由圆心在直线2x-y-4=0上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝1-32+-2-22＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
25．（1）C(0,3)；（2）(x-4)2+(y-4)2=17．
【解析】
【分析】
(1)设点C(0,m)，由题意：kAB⋅kBC=-1，根据斜率公式，求得m的值，即可得到答案.
(2)由Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心边AC，得圆心的坐标为(4,4)和半径，即可得到圆的方程.
【详解】
(1)设点C(0,m)，由题意：kAB⋅kBC=-1
kAB=8-53-8=-35，所以kBC=m-80-3=53
解得m=3，所以点C(0,3)
(2)因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心边AC，
所以圆心的坐标为(4,4)，
r=(4-0)2+(4-3)2=17，
所以圆心的方程为(x-4)2+(y-4)2=17
【点睛】
本题主要考查了斜率公式的应用，以及圆的标准方程的求解，其中解答中正确理解题意，合理根据条件，求解圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
26．（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度
试题解析：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）
由已知 xp=x,
∵P在圆上， ∴，即C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为
将直线方程代入C的方程，得
即
∴∴线段AB的长度为

考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的性质
视频
27．(1)x2+y2=1.
(2)(x-32)2+y2=14.
【解析】分析：（Ⅰ）根据坐标变换，代入变换方程，即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程。
（Ⅱ）根据中点坐标公式求出P点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可。
详解：（Ⅰ）将x=3cosθy=2sinθ代入x'=13xy'=12y，得C'的参数方程为x=cosθy=sinθ，
∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1.
（Ⅱ）设Px,y，Ax0,y0，又B(3,0)，且AB中点为P，
所以有：x0=2x-3y0=2y，
又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程x02+y02=1得
(2x-3)2+(2y)2=1，
∴动点P的轨迹方程为(x-32)2+y2=14.
点睛：本题主要考查了利用迭代法求方程的方法，参数方程与普通方程间的转化，属于简单题。
答案第16页，总16页