高三数学一轮课堂巩固：基本初等函数.doc

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高三数学一轮课堂巩固：基本初等函数

1．(2008年高考山东卷)设函数f(x)＝则f[]的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　B．－
C. D．18
解析：选A.∵f(2)＝22＋2－2＝4.∴f[]＝f()＝1－()2＝.故选A.
2．已知f：x→－sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有(　　)
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
解析：选B.∵A⊆[0,2π]，由－sinx＝0得x＝0，π，2π；由－sinx＝，得x＝，，∴A中最多有5个元素，故选B.
3．(2010年佛山质检)已知函数f(x)＝，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是(　　)
A．∅ B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
解析：选D.若x∈[－1,1]，则有f(x)＝2∉[－1,1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1,1]，则f(x)＝x∉[－1,1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.
4．若f(x－1)＝2x＋5，则f(x2)＝________.
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝2(t＋1)＋5＝2t＋7，
∴f(x2)＝2x2＋7.
答案：2x2＋7
5．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.
解析：依题意有，
解得，
∴f(x)＝x2－4x＋3，
∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
答案：8
6．(1)已知f(x－2)＝3x－5，求f(x)；
(2)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)；
(3)若f{f[f(x)]}＝27x＋26，求一次函数f(x)的解析式．
解：(1)令t＝x－2，则x＝t＋2，t∈R，
由已知有：f(t)＝3(t＋2)－5＝3t＋1，
故f(x)＝3x＋1.
(2)∵f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，
令1－cosx＝t，cosx＝1－t，
∵－1≤cosx≤1，
∴0≤1－cosx≤2，∴0≤t≤2，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)，
故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．
(3)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f[f(x)]＝a2x＋ab＋b，
f{f[f(x)]}＝a(a2x＋ab＋b)＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b，
∴
解得a＝3，b＝2.
则f(x)＝3x＋2，f[f(x)]＝3(3x＋2)＋2＝9x＋8.
f{f[f(x)]}＝3(9x＋8)＋2＝27x＋26，
∴a＝3，b＝2，f(x)＝3x＋2为所求．
练习

1．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下列各图中能表示从集合A到集合B的映射的是(　　)

解析：选D.A中的元素在B中都有唯一元素相对应．
2．设函数f(x)＝，则f(f(f()－5))＝(　　)
A．3 B．4
C．7 D．9
解析：选C.本题在求解时要注意自变量的取值范围与相对应的解析式，f(f(f()－5))＝f(f(－1))＝f(－3)＝7.
3．(2010年北京西城模拟)设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B等于(　　)
A．{1} B．∅
C．∅或{1} D．∅或{2}
解析：选C.由已知可得集合A是集合{－，－1,1，}的非空子集，则A∩B＝∅或{1}．
4．下列各组函数是同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝1
B．y＝|x－1|与y＝
C．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1
D．y＝与y＝x
解析：选D.∵y＝＝，定义域与对应法则都不同，∴排除A.
又∵y＝|x－1|＝，定义域不同，∴排除B.
y＝|x|＋|x－1|＝，对应法则不同，∴排除C.
y＝＝＝x，故选D.
5．已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)＞0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)

解析：选D.由ax2－x－c＞0的解集为(－2,1)，
得∴
∴f(x)＝－x2－x＋2.
∴f(－x)＝－x2＋x＋2，图象为D.
6．如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM的面积设为y，则函数y＝f(x)的图象只可能是下图中的(　　)

解析：选A.据题意可得f(x)＝易知只有A选项符合条件．
7．设g(x)＝则g[g]＝________.
解析：据题意，g＝ln<0，g[g]＝eln＝.
答案：
8．已知f(＋1)＝lgx，则f(x)＝________.
解析：令＋1＝t(t＞1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，f(x)＝lg(x＞1)．
答案：lg(x＞1)
9．若f(x)＝(x＋a)3对任意x∈R都有f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(2)＋f(－2)＝________.
解析：令x＝0，知f(1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
∴f(1)＝(1＋a)3＝0，
∴a＝－1，
∴f(x)＝(x－1)3，
∴f(2)＋f(－2)＝－26.
答案：－26
10.(1)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．
(2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()－1，求f(x)的表达式．
解：(1)当x＞0时，g(x)＝x－1，
故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x＜0时，g(x)＝2－x，
故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；
∴f[g(x)]＝
当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，
故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；
当－1＜x＜1时，f(x)＜0，
故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.
∴g[f(x)]＝
(2)在f(x)＝2f()－1中，用代替x，得f()＝2f(x)－1，将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，可求得f(x)＝＋.
11．已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝.
解：当f(x)≤0，即x2＋2x－3≤0，
－3≤x≤1时，g(x)＝0.
当f(x)>0，即x<－3或x>1时，
g(x)＝f(x)＝(x＋1)2－4，
∴g(x)＝
图象如图所示．

12．如图①所示是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)图①、②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
解：(1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元．点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．
(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．
(4)斜率表示票价．

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