因式分解概念与提公因式(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,因式分解,概念及提公因式法1,1,分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果,:,(,口答,),温故知新,(1),(2),(3),2,乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc,每一项都必须含有,相同因式,m,。,现逆用乘法分配律,各项除以相同因式,m后剩下的因式。,1、m可以是数字、字母、多项式。,2、逆用的条件与结论都不一样。,3,定义,一般地，把一个,多项式,转化成几个,整式,的,积,的形式，叫做,因式分解,，有时我们也把这一过程叫做,分解因式,。,想一想,：分解因式与整式乘法有何关系,4,注意,：,1.因式分解,不是运算,是,一种多项式的,变形,；,因式分解与多项式乘法互为逆变形。,2.因式分解必须在,整式范围内,进行，否则不属于因式分解；,3.利,用整式的乘法可以验证,因式分解是否正确.,5,想一想:分解因式与整式乘法有何关系?,分解因式与整式乘法是互逆过程,几个整式的积,m(a+b+c),一个多项式,ma+mb+mc,整式乘法,因式分解,练习,一,.,下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么？,1）x,2,y,2,+1=(x+y)(x-y)+1,2）6x,2,y,3,=3xy2xy,2,3）,(,不是,）,(,不是,）,(,不是,）,6,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,是,不是,是,不是,不是,不是,不是,下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？,7,探索新知,公因式的定义,：,一个多项式,各项都含有,的,相同因式,叫做这个多项式各项的,公因式,.,8,多项式中,各项都含有的相同因式，,叫做这个多项式各项的,公因式。,怎样确定多项式的公因式？,公因式与多项式的各项有什么关系？,公因式,：,9,1,、找出下列多项式中各项中含有的相同因式,.,探索新知,10,正确找出多项式各项,公因式,的,关键,是,：,1、,定系数,：,公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。,2、,定字母,：,字母取多项式各项中都含有的相同的字母。,3、,定指数,：,相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂,11,说出下列各多项式的公因式：,(1),ma+mb,；,(2)4,kx-,8,ky,；,(3),5y,3,+,20,y,2,；,(4),a,2,b-2ab,2,+ab,.,m,4,k,5,y,2,ab,最大公约数,相同,字母,最,低,指数,一,定系数,二,定字母,三,定指数,12,找一找:,下列各多项式的,公因式,是什么？,（,3,）,（,a,）,（,a,2,）,（,2(m+n),）,（,3mn,）,（,-,2xy,）,(1)3x+6y,(2)ab-2ac,(3)a,2,-a,3,(4)4(m+n),2,+2(m+n),(5)9 m,2,n-6mn,(6)-6 x,2,y-8 xy,2,13,7,x,2,-21x,8 a,3,b,2,12ab,3,+ab,m,b,2,+n b,7x,3,y,2,42,x,2,y,3,4a,2,b 2a,b,2,+6abc,说出下列各式的公因式：,7x,ab,b,7x,2,y,2,2ab,14,指出下列各多项式中各项的公因式,ax+ay-a （）,5x,2,y3-10 x,2,y （）,24abc-9a,2,b,2,（）,m,2,n+mn,2,（）,x(x-y),2,-y(x-y)(),独立练习 巩固新知,a,5x,2,y,3ab,mn,x-y,15,如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,.,这种分解因式的方法叫做,提公因式法,.,概念引入：,16,因式分解,：,把公因式提出来，多项式,ma+mb+mc,就可以分解成两个因式,m,和,(a+b+c),的乘积。像这种因式分解的方法，叫做,提取公因式法,。,解,:,公因式,多项式中,各项,都含有的,相同因式,称之为,公因式,提公因式法,17,热身运动,1.,填空,:,（口答）,(1),(2),(3),(4),18,例1 把 9x,2,6xy,+,3xz 分解因式.,=,3x,3x-,3x,2y+,3x,z,解：,=,3x,(3x-2y+z),9,x,2,6 x y+3x z,方法步骤：,找出 公因式；,提出 公因式，,（即用多项式中每一项,除以,公因式）,19,例2:分解因式,8ab-12abc+ab,解:原式=ab8a-ab12bc+ab1,=ab(8a-12bc+,1,),判断下列分解因式正确吗,2x+3x,+x=x(2x+3x),3ac-6a,c=3a,(c-2ac),X(2X+3X+1),3ac(1-2a),注意:,提取公因式后：(1)另一个因式不能再含 有公因式,(2)另一个因式的项数与原多项式的项数一致,我做得对吗？,不要漏掉,1,如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。,20,例,3.,把,-24,x,3,12,x,2,+28x,分解因式,.,当多项式第一项系数是负数，通常先提出,“,-,”,号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。,解：原式,=,=,提负号,要变号,(24x,3,4x+12x,2,4x-28x4x),(6x,2,+3x-7),=,21,练习,.,将下列各式分解因式：,(1),(2),(3),(4),22,25x-5,3,x,3,-3x,2,9x,8a,2,c+2b c,-4a,3,b,3,+6 a,2,b-2ab,-2x,2,12xy,2,+8xy,3,练习 把下列各式分解因式：,a,23,提公因式法分解因式,正确的找出多项式各项的公因式。,注意：,1 多项式是,几项,，提公因式后也剩,几项,。,2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因 式后剩余的项是1。,3、当多项式,第一项系数,是负数，通常,先提出,“,-,”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。,24,怎样,正确多项式各项的公因式？,1、,公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数；,字母：,2、,字母取多项式各项中都含有的相同的字母；,指数：,3、,相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；,注：,多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式,。,系数：,25,2.,把下列各式分解因式：,(1),(2),(3),牛刀小试,26,练习二:分解因式,a,+ab-ac,-2x,+4x,+2x,=a(ab+c),=2x(,x,2x1),27,例4：把2a(b+c)-5(b+c)分解因式,(b+c),(b+c),解：2a(b+c)5(b+c),=(b+c)(2a-5),注意：,公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是,多项式。,28,练习三、把下列各式分解因式：,（1）,x(a+b)+y(a+b),（2）3a(x-y)-(x-y),（3）6(p+q),2,-12(p+q),解：（1）原式=,(a+b)（x+y）,（2）,原式=,(x-y)（3a-1）,（3）,原式=6(p+q)(p+q-2),29,确定公因式要对数字因数和字母分别进行考虑,:,1.,各项,系数,都是整数时,公因式的系数应取各项系数的,最大公约数,;,2.,字母,取各项,相同,的字母,而且各字母的,指数,取,次数最低,的,30,华山论剑,4.,把下列各式分解因式：,(1),(2),(3),(4),31,(1)ax+xy=()(),(2)3mx-6my=()(),(3)x,2,y+xy,2,=()(),(4)15a,2,+10a=()(),(5)12xyz,9x,2,y,2,=()(),x,3m,xy,5a,3a+2,3xy,4z-3xy,将下列多项式因式分解,:,a+y,x-2y,x+y,(6)2a(b+c)-3(b+c)=()(),b+c 2a-3,32,小结:本节课我们学习了哪些知识?,3、确定公因式的方法,（1）系数取各项的最大公约数,（2）字母取各项相同字母,（3）指数取各项相同字母的最低次幂,4、提公因式法分解因式的步骤,（1）确定公因式,（2）用公因式去除多项式的各项得另一因式,（3）写成这两个因式的积的形式,1、什么叫做公因式？,2、什么叫提公因式法？,33,2,、确定公因式的方法,：,小结,3,、提公因式法分解因式步骤,(,分两步,),：,1,、什么叫因式分解？,(1),定系数,(2),定字母,(3),定指数,第一步，找出公因式；,第二步，提取公因式,.,4,、提公因式法分解因式应注意的问题：,（,1,）公因式要提尽；,（,2,）小心漏掉,1;,（,3,）提出负号时,要注意变号,.,记住哟！,34,1,、确定公因式的方法：,（1）,公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。,（2）,字母取多项式各项中都含有的相同的字母。,（3）,相同字母的指数取各项中最小的一个,，,即最低次幂,。,小结,2、提公因式法分解因式：,第一步，找出公因式；,第二步，提公因式,即用多项式除以公因式.,35,再见,36,因式分解,概念及提公因式法2,37,教学过程：,一、复习提问：,1、把,化成,的形式，叫做把这个多项式因式分解。,2、因式分解与,是互逆变形，分解的结果对不对可以用,运算检验,一个多项式,几个整式的乘积,整式乘法,整式乘法,38,回顾与思考,1 多项式的分解因式的概念：,把一个多项式,化为几个整式乘积,的形式，叫做把这个多项式分解因式.,2 分解因式与整式乘法是,互逆,过程.,3 分解因式要注意以下几点:,分解的,对象,必须是,多项式,.,分解的,结果,一定是几个,整式的乘积,的形式.,39,a c+b c,3,x,2,+x,30 m,b,2,+5n b,3x+6,a,2,b 2a,b,2,+ab,7(a 3)b(a 3),下列各多项式有没有,共同,的,因式,？,c,x,5b,3,ab,a-3,40,提取公因式法,1、中各项的公因式是,_。,公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的,公因式。,3xy,2,找公因式的方法：1：系数为,；,2、字母是,；,3、字母的次数,。,各系数的最小公倍数,相同字母,相同字母的最低次数,练习：5x,2,25x的公因式为,；,2ab,2,4a,2,b,3,的公因式为,，,多项式x,2,1与(x1),2,的公因式是,。,5x,-2ab,2,x,-1,41,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。,提取公因式法,练习：,1、把多项式m,2,(a2)+m(2a)分解因式等于（）,A(a2)(m,2,+m)B(a2)(m2m),Cm(a2)(m1)Dm(a2)(m+1),C,2、把下列多项式分解因式,(1),(2),(3),42,例1、,把下列,多项,式因式分解,：,25,x,2,y,3,-1,5,x,2,y,2,9a,(,a,-,b,),2,-1,5,(,b,-,a,),3,8x,m,y,n-1,-12x,3m,y,n,mn(m-n)-n(n-m),2,(b-a),2,-2a+2b,a(x-a)(x+y),2,-b(x-a),2,(x+y),43,例2、,把下列,多项,式因式分解,：,6a,3,b,2,-,3a,2,b,3,-18a,2,b,3,-4x,2,yz,-1,2xy,3,z+4xyz,m(1-x)-n(x-1)+p(1-x),-ab(a-b),2,+a(b-a),2,-a(a-b),2,44,例3、,把下列,多项,式因式分解,：,m,2,-mn+mx-nx,am+bm+an+bn+a+b,a,2,b,2,-a,2,-b,2,+1,10a,2,x+21xy,2,-14ax,2,-15ay,2,2x,2,(-2x+9)-28x,m,2,-mn+5n-5m,(用两种方法),45,1、,分解因式计算 (-2),101,+(-2),100,2、,利用简便方法计算：,4.3,x199.8+0.76x1998-1.9x199.8,3,、已知 a+b=3,ab=2,求代数式,a,2,b+2 a,2,b,2,+,a,b,2,的值。,4、,把 9,a,m+1,21,a,m,+7a,m-1,分解因式,5、,解方程,.,（x-4),2,-(4-x)(8-x)=12,6、,化简：1+x+x(1+x)+x(1+x),2,+.+x(1+x),2015,例4、分解因式的应用,46,(1),13.80.125+86.21/8,(2),已知,a+b=5,ab=3,求,a,2,b+ab,2,的值,.,解：原式,=13.80.125+86.20.125,=0.125(13.8+86.2),=0.125100,=12.5,解,:,a,2,b+ab,2,=ab(a+b)=3,5=15,因式分解应用,47,拓展运用：,6,.,已知,1,x,x,2,x,3,=0.,求,x,x,2,x,3,x,4,x,20,15,的值,.,解：原式,x(1,x,x,2,x,3,),x,5,(1,x,x,2,x,3,),x,2012,(1,x,x,2,x,3,),0,48,49,6,、分解因式：,4x,m,y,n,b,6x,m,1,y,n,2,2x,m,2,y,n,1,a(x,y,z),b(z,x,y),c(x,z,y),(5x,2y),2,(2x,5y),2,解：原式,2x,m,y,n,(2b,3xy,2,x,2,y),解：原式,(x,y,z),(abc),解：原式,25x,2,20 xy,4y,2,4x,2,20 xy,25y,2,29x,2,29y,2,29(x,2,y,2,),50,3.,试说明,:81,7,27,9,9,13,能被,45,整除,.,解：原式,(3,4,),7,(3,3,),9,(3,2,),13,=3,28,3,27,3,26,=3,26,(3,2,3,1),=3,26,5,=3,25,45,817,279,913,能被,45,整除,.,51,整除吗,能被,120,5,25,12,7,-,?,是奇数还是偶数,？,想一想,n,n,+,2,（1）,（2）,（3）199,3,-199能被200,整除吗?还能被哪些整数整除?,52,谢谢 再见,53,作业1、,把下列,多项,式因式分解,：,6(x-2)+x(2-x)24a(a-b),2,+18(b-a),2,(x-y),2,-(y-x),3,(m+1)(m-1)+(m-1),(a-3),2,-2a+6 15x(a-b),2,-3y(b-a),-4a,3,+4a,2,-16a ,2x,3,+x,2,-6x-3,(用两种方法),54,作业2、,把下列,多项,式因式分解,：,-1/5abc+1/5ab,2,-a,2,bc,2x(x-y),2,-4x,2,(y-x),2,(x-y),3,-2z(y-x),2,(m-n),4,-m(n-m),3,+n(n-m),3,3x(a+2b)-6xy(2b+a),7x,2,-3y+xy-21x,(用两种方法),55,作业3、,把下列,多项,式因式分解,：,xyz,2,-xy,2,z+x,2,yz,(b-a),2,-2a+2b,(2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b),5(x-Y),3,+10(y-x),2,15x(a-b),2,-3y(b-a),2,4a,2,+2ab+6a+3b,(用两种方法),56,作业4、,把下列,多项,式因式分解,：,3ax+4ay+3bx+4by,-2xy-4x,2,y+8y,3,y,-3x,2,+12x,3,-3x,-4a,2,-6ab-2a,-8(a-b),3,-4(a-b),2,+2(a-b),2ax-10ay+5by-bx,(用两种方法),57,