双曲线讲义.doc

圆锥曲线第二讲 双曲线
一 双曲线的定义
平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.
注：（1）定义中的限制条件.当时，点的轨迹是分别以为端点的两条射线；当时，轨迹不存在；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.
（2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支.
例 1 已知，，动点满足，当为和时，的轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线.

例2 已知点的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点的轨迹是什么图形：
（1）；
（2）

练习1 已知平面上定点，及动点，命题甲：，命题乙：点轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件

练习2 若平面内一动点到两定点，的距离之差的绝对值为定值，讨论点的轨迹方程.

二 双曲线的标准方程
（1）设是双曲线上任意一点，焦点，的坐标分别为，，与和的距离之差的绝对值等于常数，则双曲线的标准方程为 ：
其中：①； ②，和大小关系不明确
（2）设是双曲线上任意一点，焦点，的坐标分别为，，与和的距离之差的绝对值等于常数，则双曲线的标准方程为 ：
其中：①； ②，和大小关系不明确
例1 若方程表示双曲线，则实数的取值范围为______.
例2 若，则关于的方程所表示的曲线是____.焦点在轴上的双曲线.
例3 方程所表示的曲线为_______.焦点在y轴上的双曲线.

练习1 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为_____.
练习2 已知双曲线的一个焦点为，则_____.-1
三 双曲线的定义及其标准方程的应用
例1 若是双曲线的两个焦点，若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为____（4或28），若是双曲线左支上的点，且，则的面积为_____.16
例2 在中，为其三边边长，点，的坐标分别为，，则满足的顶点的轨迹方程为______.

例 3 已知，，，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于，则点的轨迹方程为________.

例4 已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_____.9

练习1在平面直角坐标系中，已知的顶点，若顶点在双曲线的左支上，则______.

练习2若点是以为焦点，实轴长为的双曲线与圆的一个交点，则的值为______.

例3 已知，，动圆与，都外切，则动圆圆心的轨迹方程为_____.
练习4 已知双曲线的方程，点的坐标为，是圆 上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______.

四 双曲线的简单几何性质

注：（1）标准方程中参数，其中最大，大小关系不确定.
（2）我们把称为双曲线的离心率且.的渐近线方程为.
（3）如果是双曲线的两个焦点，是双曲线上的任意一点，则.（求离心率的范围）
（4）,.（求离心率范围）
（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率.
（6）共轭双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共轭双曲线.
三 双曲线的定义
练习（5.3）已知，则双曲线，与的（）D
实轴长相等 虚轴长相等 焦距相等 离心率相等
四 双曲线标准方程的求解（先定位后定量）
例1（调研）设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为，则此双曲线的标准方程是______.
例2 （调研）已知双曲线的渐近线方程为，为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为________.
练习1（简单）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于，则曲线的标准方程为_______.
例2（5.3）已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为_______.
五 双曲的简单几何性质
双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点，两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.
例 1（简单）设双曲线，的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线的方程为_______.
例2（练透）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_____..
练习1（调研）设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，，则的面积等于_____.
例2（简单）若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则实数=____.
六 双曲线的离心率
离心率的取值问题
例1（练透）是双曲线的左右焦点，过的直线与的左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为_____.
例2（练透）过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为____.
练习1（练透）设是双曲线的两个焦点，是上的一点，若，且的最小内角为，则的离心率为______.
练习2（练透） 设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为________.
练习3（练透）设分别是双曲线的左右焦点，若双曲线右支上存在一点，使得，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为_______.
离心率的范围问题
双曲线的离心率范围问题主要考查两点：
（1）利用三角形的三边关系得到关于的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.
（2）若果是双曲线的两个焦点，是双曲线上的任意一点，则.通过余弦定理得到关于的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.
例1 （调研）已知双曲线的左右焦点为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为_____..
例2（调研）已知，动点满足，若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是____.
练习1（5.3）已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是_____.
练习2（练透）点是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点，且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率取值范围是_______.
练习3（练透）已知点是双曲线的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为______.
七 双曲线的综合问题
例1 （练透）设双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值为____.11