双曲线简单几何性质练习题.doc

1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
3．下列双曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
5．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)
A．(－10,0) B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12)
7．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
8．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为 ．
10．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
11．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
12．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．

13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－)，离心率e＝；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．

14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．

参考答案
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　由题意知c＝4，焦点在x轴上， 所以2＋1＝e2＝4，所以＝，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.
2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C　因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝ ＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3．下列双曲线中离心率为的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　由e＝得e2＝，∴＝，
则＝，∴＝，即a2＝2b2.因此可知B正确．
4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：选A　令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.
5．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝ ＝a，于是e＝＝.
6．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
解析：选B　由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k.
∴e2＝＝＝1－.
又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－12<k<0.
7．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
8．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
解析：令－＝0，解得y＝±x.
答案：y＝±x
9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
10．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB方程：y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝ × ＝3.
答案：3
11．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
12．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B.
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)|yB|＝×(5－3)×＝.
答案：.
13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－)，离心率e＝；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为双曲线过点(3，－)，则－＝1.①
又e＝＝ ＝，故a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理可得b2＝－，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，
∴e＝ ＝，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.
故m＝±1.