《双曲线》单元测试题.doc

《双曲线》单元测试题
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(　A　)
A.　　　B. C. D.
2．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　A　)
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
3．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(　B　)
A.　　 B. C. D.
4．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是(　A　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
6．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　C　)
A．4 B．8 C．24  D．48
7． P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　B　)
A．4 B．7 C．6 D．5
8．设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　C　)
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
9．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　C　)
A．28　　 B．14－8 C．14＋8 D．8
10．我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是(　D　)
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题后的横线上．)
11．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为__ e1<e2<e4<e3____________．
12．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为___－2_____．
13．已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝__ b2______.
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是___(1，＋1)_____
15．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e＋e的最小值是___4_____．
三、解答题：(本大题共4小题，共45分．)
16.(本题满分10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2面积．
解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2
＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
17．(本题满分10分)已知曲线C：＋x2＝1.
(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由； (2)如果直线l的斜率为，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．
解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，则F(x0,0)，∵，
∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．∴
代入＋x＝1中，得＋x2＝1为P点的轨迹方程．当λ＝时，轨迹是圆．
(2)由题设知直线l的方程为y＝x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y得：(λ＋2)x2－4x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0，
∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝，
而＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋x1·x2＝3x1x2＝，
∴＝－，解得λ＝－14.∴曲线C的方程是x2－＝1.
18．(本题满分12分)如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1、P2两点，若.求双曲线C的方程．
解： (1)由得，即△F1PF2为直角三角形．设＝2r，于是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5×(2a)2＝4c2，所以e＝.
(2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，则＝x1x2－4x1x2＝－，所以x1x2＝.①由即x＝，y＝；又因为点P在双曲线－＝1上，所以－＝1，又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
19．(本题满分13分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，
得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得<k<1.
∴当<k<1时，l与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.
∴AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵<k<1，∴－2<1－3k2<0.∴m<－2.∴m的取值范围为(－∞，－2)．