双曲线的简单几何性质及经典习题.doc

知识回顾：
名 称
椭 圆
双 曲 线

图 象

定 义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在

标准方 程

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
常数的关 系
（符合勾股定理的结构）
，
最大，
（符合勾股定理的结构）

最大，可以

二、讲解新课：
1．范围、对称性
由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线
双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

2．顶点
顶点： 特殊点：
实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令y=0得，故它与x轴有两个交点，且x轴为双曲线的对称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a.
在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。但Y轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

3．渐近线
过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过
作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在
直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线
分析：要证明直线（）是双曲线的渐近线，即要证明随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢

4．等轴双曲线
a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线
结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角

5．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成

6．双曲线的草图
利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线

三、讲解范例：
例1 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图

例2 求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程
分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可
例2 (1)已知双曲线的两条渐近线方程是，焦点坐标是，，求双曲线的标准方程．
(2)求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程．
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是，且焦距为8，求此双曲线的离心率及标准方程．

四、课堂练习：
1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是

25.过点(3,0)的直线与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线共有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

翰35.若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围是( )
(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-∞,)∪(-,+∞)翰林汇

45.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是
(A) (B)
(C) (D)

55.与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）

(A) (B)
(C) (D)

翰林汇66.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ）
(A)(0，5)， (B)(0， (C)(0， (D)(0，

76.双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于 ( )
(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16

１．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为 ．
２．双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则双曲线方程为 ．

３．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为 ．

４．中心在原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 ．
５．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ．

五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是
或写成

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