双曲线的简单几何性质(优秀教案).doc

教案
普通高中课程标准选修2-1
2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）
教材的地位与作用
本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。
二、教案目标
（一）知识与技能
1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
（二）过程与方法
通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。
（三）情感态度与价值观
让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。
三、 教案重点难点
双曲线的渐近线既是重点也是难点。
四、 教案过程
(一)课题引入
1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。）
今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。
【板书】：双曲线的性质
2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）
3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）
（二）双曲线的性质
1、范围：
把双曲线方程变形为。
因为，因此，即，所以。
又因为，故。
【板书】：1、范围：，。
2、对称性：
下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线的标准方程，判断它的对称性？
在标准方程中，把换成，或把换成，或把，同时换成，时，方程都不变，所以图形关于轴、轴和原点都是对称的。
【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是轴、轴，原点是它的对称中心。
3、顶点：
提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？
在标准方程中，令得；令，则无解。
这说明双曲线有两个顶点，。

（2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴，其长度为。尽管此双曲线与轴无公共点，但轴上的两个特殊的点。我们称线段为双曲线的虚轴，其长度为。
【板书】：3、顶点：，称为实轴，为虚轴，其中。
特别地，当时，双曲线的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线。
4、离心率
【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。
提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？
（2）双曲线的形状与离心率有什么关系？
由等式，可知：
【板书】：双曲线的离心率且越大双曲线的开口就越开阔。
5、渐近线：
提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？
在第一象限内双曲线可以化为，是增函数。
因为，所以，即，这个不等式意味着什么？（它表示直线下方半个平面区域。）
（用刚才作矩形的方法画出两条直线，然后指出区域。）
由于双曲线和直线都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线之间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。
提问：（2）直线与双曲线有什么联系呢？
（用几何画板课件演示）：
随着无限增大时，点到直线的距离就无限趋于零。
【板书】：5、渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；直线叫做双曲线的渐近线。
练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。
（1） 的渐近线方程是：
（2）的渐近线方程是：
（3）的渐近线方程是：
（4）的渐近线方程是：
可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。
（启发学生讨论，归纳）。
把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？
，即，这就表示两条渐近线
。
【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形，即可得其渐近线方程。
（三）小结
标准方程

图形

性质
焦点

范围
，

对称性
关于轴，轴，原点都对称
顶点

离心率

渐近线

（四）典型例题与变式训练
例1、 求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
由此可知，半实轴长，半虚轴长；

焦点坐标是；离心率；渐近线方程为。
归纳总结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双曲线的几何性质求解。
【变式训练】：求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2、 求适合下列条件的双曲线标准方程
（1） 顶点在轴上，虚轴长为12，离心率为；
（2） 顶点间距离为6，渐近线方程为；
解：（1）设双曲线的标准方程为。
由题意知，且。
∴
∴所求双曲线方程为。
（2）当焦点在轴上时，由且，∴。
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时，由且，∴。
∴所求双曲线方程为
归纳总结：首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程，在由条件求出a,b,c即可。
【变式训练】：2、求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 顶点在轴上，两顶点间的距离是8，；
（2） 焦距是16，。
（五）课堂总结

椭圆
双曲线
图形

标准方程

范围

，
对称性
关于轴，轴，原点都对称
关于轴，轴，原点都对称
顶点

离心率

渐近线
无

（六）作业：教材第61页：习题2.3，第2、3两题。
五、 板书设计
1、范围：，。
2.3.2双曲线的简单几何性质
双曲线的性质
2、对称性：双曲线的对称轴是轴、轴，原点是它的对称中心。
3、顶点：，称为实轴，为虚轴，其中。
4、渐近线：直线叫做…
例题
课堂训练
5、结论：

六、 课堂设计说明
1、 本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质，采用类比椭圆的几何性质的推导方法，让学生自己推导出双曲线的几何性质。在教案中，凡是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，这样有利于调动学生学习的积极性，有利于激发学生的学习兴趣，使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
2、 本节课的难点是双曲线的渐近线，故采取了有目的的，精心巧妙地存疑设问，用悬念激发学生的情趣，促进思考。结合学生实际，把“共渐近线的双曲线”、“离心率的问题”放到下一节课来完成。
七、课后反思：

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