初中数学-整式的运算、因式分解.doc

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数学思维训练整式全攻略
【我生命中最最重要的朋友，请您认真听讲并紧随老师的思路，学业的成功重在于考点的不断过滤，老师相信您一定会成为您父母的骄傲。】
一. 考点难点

知识点一：幂的运算
(1)同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数 ,指数 .即 (,都是正整数)
(2)幂的乘方:幂的乘方:底数 , 指数 .即 (,都是正整数)
(3)积的乘方:先把积中的每一个因式分别 ,再把所得的结果 .即(是正整数)
(4)同底数幂的除法:同底数幂相除,底数 ,指数 .
即(≠0, ,都是正整数，且＞)
①零指数幂:不等于零的数的零次幂等于 . 即 (≠0).
②负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的 .
即 (≠0,是正整数).
知识点二：整式乘法
(1) 单项式乘单项式
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别 ,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个 .
(2)单项式乘多项式
单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积 .
(3)多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积 .
几个重要的公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
知识点三：整式的除法
（1）单项式的除法
　　单项式相除，把它们的系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
知识点四：因式分解
(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．

(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的．

(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

(5) 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．

(6)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．

(7)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

(8)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(9) 具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式
　　①系数能平方，(指的系数是完全平方数)
　　②字母指数要成双，(指的指数是偶数)
　　③两项符号相反．(指的两项一正号一负号)

(10)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．

(l1)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2

(12)完全平方公式的特点：
　　①它是一个三项式．
　　②其中有两项是某两数的平方和．
　　③第三项是这两数积的正二倍或负二倍．
　　④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方．

规律、方法、技巧
因式分解的一般步骤:
因式分解的一般步骤可以概括为：一提二套三分四查。即
一提：如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式。
二套：如果多项式的各项没有公因式时，那么可以尝试套用公式法来分解，或考虑用十字相乘发或者求根法。
三分：对于四项以上的多项式（在没有公因式后），应考虑用分组分解法.
四查：检查每个因式是否还能因式分解。因为因式分解必须进行到一个因式都不能再分解为止.
1．分解因式= ． 2．因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________．
3．因式分解：3ab2＋a2b＝_______．
4．因式分解：　　 　． 5．因式分解：=_______________
6．分解因式：4x2－25＝_____________． 7．分解因式：＝_______________ 8．分解因式2x2-8=_____ 8．分解因式：2a2– 4a + 2＝ .
9．分解因式： ． 10．分解因式________. 11．分解因式：ax2＋2axy＋ay2＝_________________.
12．把多项式分解因式的结果是
13．分解因式：xy2－2xy＋2y－4＝
14．分解因式： 15．分解因式 x(x－1)－3x+4= ．
16．分解因式:
17．分解因式2x3-8x2y+8xy2=
18．把多项式分解因式的结果是 。
19．把分解因式，结果为____________20．因式分解：x3y－xy =
21．分解因式：＝　 　　 22．分解因式：a2－4b2=
23．将多项式a3－6a2b＋9ab2分解因

二、典型例题
例1 . 先化简、再求值
(其中)

同步练习1：
1.求比多项式少的多项式.

2.先化简、再求值
(其中)

例2. 计算

同步练习2:
1.计算=
2.计算

3下列计算正确的是 ( ).
(A) (B) (C) (D)
例3.计算：(1)；

同步练习3:
计算:1） ；2）; 3）；

例4.利用乘法公式计算:

同步练习4:
1.计算:

2.已知,试求的值

例5 已知，，求的值．

例6. 如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，则S＝__________（用含n的代数式表示，n为正整数）．

三、巩固练习
（一）完成下列各题：
1. （2008年山西）计算：2x3·（－3x）2__________．
2. （2008年湖北省襄樊）下列运算正确的是（ ）
A. x3·x4＝x12 B. （－6x6）÷（－2x2）＝3x3
C. 2a－3a＝－a D. （x－2）2＝x2－4
3. （2008年哈尔滨）把多项式2mx2－4mxy＋2my2分解因式的结果是__________．
4. （2008年山东）分解因式：（2a－b）2＋8ab＝____________．
（二）. 用简便方法计算．
1、0. 252009×42009－8100×0. 5300．
2、4292－1712．

（三）计算
1、. 设m2＋m－2＝0，求m3＋3m2＋2000的值．

2. 化简求值：5（m＋n）（m－n）－2（m＋n）2－3（m－n）2，其中m＝－2，n＝．

【模拟试题】
一. 选择题
1. （2007年广州）下列计算中，正确的是 （ ）
A. x·x3＝x3 B. x3－x＝x
C. x3÷x＝x2 D. x3＋x3＝x6
2. （2007年中山）因式分解1－4x2－4y2＋8xy，正确的分组是 （ ）
A. （1－4x2）＋（8xy－4y2）
B. （1－4x2－4y2）＋8xy
C. （1＋8xy）－（4x2＋4y2）
D. 1－（4x2＋4y2－8xy）
3. 若x、y是正整数，且2x·2y＝25，则x、y的值有 （ ）
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
4. 下列计算正确的是 （ ）
A. （－4x）（2x2＋3x－1）＝－8x3－12x2－4x
B. （x＋y）（x2＋y2）＝x3＋y3
C. （－4a－1）（4a－1）＝1－16a2
D. （x－2y）2＝x2－2xy＋4y2
5. （2008年安徽）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A. x2－xy B. x2＋xy C. x2－y2 D. x2＋y2
6. 整数N＝215×510的位数是 （ ）
A. 10位 B. 11位 C. 12位 D. 13位
7. 若a、b互为相反数，且a、b均不为0，n为正整数，则下列结论正确的是 （ ）
A. a2n和b2n也一定互为相反数
B. an与bn一定互为相反数
C. －a2n与－b2n也一定互为相反数
D. a2n＋1与b2n＋1也一定互为相反数
8. （2008年全国数学竞赛广东初赛）化简：（a＋1）2－（a－1）2＝ （ ）
A. 2 B. 4 C. 4a D. 2a2＋2

二. 填空题
9. （2006年河北）计算：＝__________．
10. 计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）·……·（22008＋1）＋1＝__________．
11. （2008年四川成都）已知y＝x－1，那么x2－2xy＋3y2－2的值是__________．
12. 若2·8n·16n＝222，则n＝__________．
13. 若（81）n＝38，则n＝__________．
14. （2008年全国数学竞赛海南预赛）已知a－b＝1，a2－b2＝－1，则a2008－b2008＝_________．
15. 如图所示，是用4张同样的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式：__________．

三. 解答题
16. 计算下列各题
（1）（）2008·（2）2007·（π－10）0

（2）1. 51001×（－2）1001×（－）1001×（－）1001

（3）已知x、y互为相反数，且（x＋2）2－（y＋2）2＝4，求x－y的值．

17. 分解因式
（1）－x3＋4x2－4x
（2）（x－4）（x－2）＋1

18. （2008年江西）先化简，再求值：x（x＋2）－（x＋1）（x－1），其中x＝－．

19. （2006年广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：

（1）填写表格：
输入n
3

－2
－3
……
输出答案
1

1
……
（2）请将题中的计算程序用代数式表达出来，并给予化简．

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亲爱的学子：在数学的学习中，思考和归纳是制胜的法宝.

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