初中数学竞赛中最值问题求法应用举例.doc

最值问题求法
例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ）
A．27 B、 18 C、15 D、 12

例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ）
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是———————— 。

例题5、若a、b满足3＋5∣b∣= 7 ，则S = 2－3∣b∣的最大值为------------------- ，最小值为-------------------- 。

（二）、直接运用a2＋b2 ≥ 2ab ( a＋b≥ 2 )性质求最值。
例题（6）、若X > 0，则函数Y = ＋＋的最小值。

例题（7）、已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d = 4 ，a2＋b2＋c2＋d2 = ，求a的最小值与最大值。

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac（结合韦达定理）求最值。
例题（8）、已知实数a、b、c满足a＋b＋c = 2 ，abc = 4 ，求a、b、c中最大者的最小值 ；求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。

例题（9）、求函数Y = 的最小值。

（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题（10）、是一个五位自然数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b│＋│b-c│＋│c－d│＋│d－e│的最大值是 ———。

例题（11）、求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X－3│＋…＋│X－2003│的最小值。，求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X-3│＋…＋│X-2004│的最小值。

（五）、用二次函数图象性质求最值。
例题（12）、若│y│≤1,且2x＋y = 1.则2x2＋16x＋3y2的最小值是——————。

例题（13）、设m是不小于－1的实数，使得关于X的方程X2＋2(m－2)X＋m2－3m＋3 = 0 有两个不相等的实数根X1，X2 。求＋的最大值。

（六）、用方程组消元（也称主元代换法），再用不等式组确定字母取值范围，在字母约束条件下求最值。
例题（14）、已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c = 5,2a＋b－3c = 1,若Q = 3a＋b－7c ,求Q的最大和最小值。

（十）、用整数的性质求最值。
例题（15）、若对于n≥2存在整数a1,a2,…,an使得 a1＋a2＋…＋an = a1a2…an = 1990,则n 的最小值是 ———————— 。

（十一）、用数学建模求应用题的最值。
例题（21）、某蔬菜基地种植西红柿，由历年的市场行情知，从二月一日起的250天内，西红柿的市场售价P与上市时间t的关系用图（3-1）中的一条线段表示；西红柿的种植成本Q与上市时间t的关系可用图(3-2)中的抛物线来表示。（市场售价P和种植成本Q的单位：元/102kg，时间单位：天 ）。若认定“市场售价－种植成本 = 纯收益”，问何时上市的西红柿纯收益最大？

解：如图（3-1）得函数关系式为：P = 300－t (0≤t≤ 250).
如图（3-2）得函数关系式为：Q = （t－150）2＋100 (0≤t≤250).
纯收益S = P－Q = －（t－50）2＋100 .即从二月一日开始的第50天上市西红柿的纯收益最大。

【说明：此类生活中的数学问题，具有强烈的时代气息，来源于生活生产实际，是近年来各级各类竞赛考试的热门试题，综合性强，知识的涉及点多，知识的应用要求高，在辅导中要引起重视。】
(十二)、练习题：
1、 已知：a < 0, b ≤ 0, c > 0 ,且 = b2－2ac ,求b2－4ac的最小值。
【把已知条件两边平方后得ac = b－1,代入b2－4ac就能求得最小值4。】
2、 已知在直角坐标系中有三点A（0，1）、B（1，3）、C（2，6），直线Y=aX＋b上横坐标为0、1、2的三点为D、E、F，试求a、b的值，使DA2＋EB2＋FC2取得最小值。
【把D、E、F三点的纵坐标用含a、b的代数式表示，然后把DA2＋EB2＋FC2用含a、b的二次式表示，配方后求出最小值。当a=5/2,b=5/6,最小什为1/6。】
3、 设X1，X2是关于X的方程X2＋aX＋a = 2的两个实数根，则（X1－2X2）（X2－2X1）的最大值为—————— 。
4、 求函数Y=X4＋X2＋1的最小值。
【Y=（X2＋1）2＋，当X=0时Y最小值是1。】
5、 四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16，这样的四边形有几个？这样的四边形边长的平方和的最小值是多少？
【先由AB=a、CD=b、AC=m都是正整数 ,且四边形ABCD面积=三角形ABC面积＋三角形ACD面积=1/2aha＋1/2bhb≤1/2(a＋b)m ,当且仅当ha=hb=m时等号成立，这时AB‖CD，即四边形ABCD为平行四边形或梯形，且AC是高。又从（a＋b）m≥32,a＋b＋m=16 得满足条件的四种情况。】
6、 设实数a,b满足 a2－bc－8a＋7=0
b2＋c2＋bc－6a＋6=0，则a的最大值与最小值的和是 ________________ 。
【先由原方程组求出b2＋c2,bc用a表示的代数式，再由(b－c)2≥0解不等式a2－10a＋9≤0求得1≤a≤9,所以a的最大值为9，最小值为1。】
7、 如果a,b,c是实数，且满足关系式b2＋c2=2a2＋16a＋14与bc=a2－4a－5，那么a的最大值与最小值的和是________ . 【用(b-c)2≥0】
8、 若M=（X＋1）（X+2）（X+3）（X+4）+50，则M的最小值是________ .
9、 若M=4X2-12XY+10Y2+4Y+9，则当X=_____Y=_____时M的值最小，M的最小值为_______。
10、正实数X、Y、Z满足XY+YZ=10，则X2＋5Y2＋4Z2的最小值是_______。
【由XY+YZ=10得4XY+4YZ=40，则X2＋5Y2＋4Z2=（X-2Y）2＋（Y-2Z）2＋40，当X=2Y且Y=2Z时原代数式有最小值40。】
11、 实数P、Q、R满足P+Q+R=5，PQ+QR+RP=3，则R的最大值是______。
【令P=（5-R）/2＋d，Q=（5-R）/2－d，代入PQ+QR+RP=3得3R2－10R－13=-4d2，解不等式3R2-10R-13≤0得R的最大值是13/3。也可用⊿法解。】
12、 若X为正实数，求Y=X2－X＋的最小值 。
【Y=（X-1）2+（-）2＋1，当X=1时Y有最小值1。】
13、 已知xy=1,那么代数式＋的最小值是_________。
14、 若x>0,则函数y=＋＋ 的最小值是________ 。
15、 若x≠0,则y=的最大值是________ 。
【y= =≤＋】
16、 已知函数y=x2＋(a-1)x+2a2-2a-100,且存在实数x，使得y≤0,则满足条件的最大整数a的值是________ 。【⊿≥0】
17、 若x为实数，求函数y=的最小值。
【用根的判别式，。】
18、 求函数y=的最大值 。【13/3】
19、 已知实数a,b,c满足a＋b＋c=0,abc=8,且c>0,则c的最小值是________。
【用韦达定理和根的判别式，2】
20、 已知x,y,z是实数，并且满足x+y+z=0,xyz=2,则z的最小值是_______ ,∣x∣＋∣y∣＋∣z∣最小值是_________ 。【用⊿法，结果为2、4】
21、 在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=900，BC，AD的延长线交于P，求AB·SΔABP的最小值 。
【设PD=x,得AB·SΔABP==y,用⊿法求得最小值是2-。】
22、 已知－1≥x－,求∣x-1∣-∣x＋3∣最大值和最小值。【4，-36/11。】
23、 设x为实数，y=∣x＋2∣＋∣x-4∣,求y取最小值时的所有实数x 。【-2≤x≤4 。】
24、已知y=∣x-1∣-∣2x∣＋∣x＋2∣，且-2≤x≤1，则y的最大值与最小值的和是（ ）
A．0 B. 2 C. 4 D. 5 【选B】
25、∣m-2∣＋∣m-4∣＋∣m-6∣＋∣m-8∣最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【选B】
26、设a为实数，若二次函数y=x2-4ax＋5a2－3a的最小值为m，当a满足0≤a2-4a-2≤10时，求m的最大值 。
【由0≤a2-4a-2≤10得2+≤a≤6或-2≤a≤2-,求得m的最大值为18。】
27、设P是实数，二次函数y=x2－2Px-P的图像与X轴有两个不同交点A（x1，0）、（x2,0）,若A、B两点之间的距离不超过∣2P-3∣，求P的最大值 。【9/16】
28、印刷一张矩形广告，它的印刷部份的面积是32dm2,上、下各空白1dm,两边各空白0·5dm，设印刷部份从上到下的长度是xdm,四周空白处的面积为Sdm2,要使四周空白处的面积最小，这张矩形广告纸的长和宽各是多少？【用⊿法或x＋1/x≥2,长是9dm，宽是6dm.】
29、在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为（4，-），且在X轴上截得的线段AB长为6，请在Y轴上求一点P，（不写作法）使PA+PB的值最小，并求P点坐标。【轴对称法，2】
30、平面直角坐标系中，有点P（-1，-2）和Q（4，2），取点R（1，m）,求当m为何值时，PR+QR有最小值。
【因为点P、Q在直线x=1 的两侧，所以只要求出过点P、Q的直线方程，然后求直线PQ直线x=1的交点坐标 。m=-2/5】
31、若a,c,d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a.那么a+b+c+d的最大值为（ ）
A. –1 B. –5 C. 0 D. 1 【选B】
32、已知x2+xy+y2=2,求x2-xy+y2 的最大值和最小值。【6，1/3】
33、已知a,b是正数，抛物线y=x2＋ax＋2b与y=x2＋2bx＋a都与x轴有公共点，则a2＋b2 的最小值是_________ 。
【当a=4，b=2时，最小值为20。】
34、已知x,y,z是三个非负有理数，且满足3x+2y+z=5,x+y+z=2,设 S=2x+y-z,求S的最大和最小值。
【 把y、z用x表示，然后确定x的取值范围，就可通过解不等式组求S的最值。】
35、在ΔABC中，∠A≤∠C≤∠B，且2∠B=5∠A。求∠B的最大和最小值。
【750，1000】
36、圆周上依次相连排列着十个圆，要将1，2，3，…，10这十个数分别填入十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某个整数M，求M的最小值并完成你的填图。
【根据题意建立不等式组，确定M≤27·5，M的最小值为28，填法有多种：如10，7，6，3，2，9，8，5，4，1就是一种。】
37、如图，ΔABC的边AB=2，AC=3，ⅠⅡⅢ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中阴影部分面积和的最大值是_______ 。

【把三角形ECD绕点C顺时针旋转900，得三角形ECF，点C为FA的中点，ΔBCF的面积=ΔABC的面积，即ΔECF的面积=ΔABC的面积，所以阴影部分面积和=3ΔABC的面积。而ΔABC的面积≤1/2AC·AB，只有当∠BAC=900时等号成立。面积和的最大值为9。】
38、ΔABC中，BC=a，AC=b，以AB为边向ΔABC外作等边ΔABD，问当∠ACB为多少度时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？若以AB为边向外作正方形ABDE，问当∠ACB为多少度时，点C到正方形ABDE的中心O的距离最大？最大值是多少？

【如图6-1，把△DBC绕点D逆时针旋转600，点B与A重合，得△DAE≌ΔDBC，且ΔDEC是等边三角形，当C、A、E三点共线时，CD的值最大。此时∠ACB=1200，CD的最大值是a＋b.在图6-2中，同理可得当∠ACB=900时，CO的最大距离为（a＋b）。】
39、将形状为等腰三角形的铁片改制成有一个内角为450的平行四边形，问怎样做才能使材料的利用率最高？（接缝处材料损失不计）
【取AC、BC中点D、E，连结DE，把ΔCDE绕点E逆时针旋转1800，得ΔEBF，则ΔEBF≌ΔECD，这时四边形ADFB是平行四边形。它的面积就等于ΔABC的面积，材料利用率最高。】
40、代数式rvz-rwy-suz+swx+tuy-tvx中，r、s、t、u、v、w、x、y、z可以取1或者-1。（1）证明代数式的值为偶数；（2）求这个代数式所能取到的最大值。
【 中六项的值均为1或-1，且个数同奇同偶，所以和必为偶数；六式相乘积为-（rstuvwxyz）2=-1,所以这六项中至少有一项为-1，这六项的和最多是5-1=4，取u、x、y为-1，其它字母为1，原式的最大值为4.】
41、设a、b、c是互不相同的自然数，ab2c3=1350，则a＋b＋c的最大值是_______。【 1350=2×33×52=（2×33）×52×13=（2×52）×12×33=（2×3×52）×32×13，所以有四解。】

42、求能使n3＋100被n＋10整除的最大整数n的值。
【== n2-10n＋100－,n的最大值为890。】
43、一个正整数除以5、7、9、11的余数依次为1、2、3、4，求满足上述条件的最小正整数。
【设这个数为P，则P-1能是5的倍数，P-2是7的倍数，P-3是9的倍数，P-4是11的倍数，且5、7、9、11、互质，5、7、9、11的最小公倍数是1731，】
44、已知x,y,z为自然数，且x<y,x+y=1999,z-x=2000,求x+y+z的最大值。
【先用x替换y、z，得x+y+z=x+3999,当x最大时，x+y+z的值也最大，由1999-x≥1(y是自然数),1999-x>x(已知y>x),2000+x≥1(z是自然数)，所以1≤x<999·5,所以x=999， x＋y＋z的最大值是4998。】
45、设正整数a、b、c、d满足条件a/b=b/c=c/d=5/8,则a+b+c+d的最小值是________。
【因为a=5/8·b,所以8∣b；同理d=8/5·c=64/25·b,25∣b；所以200∣b,当b=200时,a＋b＋c＋d=1157是最小值。】
46、已知x+y+z=1,且0≤x≤1,0≤y≤1,2y+z≥,求M=2x+5y+4z的最大值和最小值。
【由x+y+z=1,z=1-x-y,M=-2x+y+4,y=2x+M-4；又由0≤x≤1，0≤y≤1，y≥x+，得x、y只能在如图（7）所示的阴影区域内变化，而M－4为直线在y轴上截距，随着M的变动，形成了一系列平行直线，M-4在0到1之间变化，所以4≤M≤5，M的最小值是4，最大值是5。】

西塘中学 杨孝华
2004、12、3
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