第9章中心对称图形—平行四边形测试题含答案.doc

第9章 中心对称图形—平行四边形 测试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2015年汕尾）下列命题中正确的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
　　2．如图1，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
　　A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°

3．如图2，DE是△ABC的中位线，若AD＝4，AE＝5，BC＝12，则△ADE的周长是（ ）
A．7.5 B．30 C．15 D．24
　　4．如图3，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为（　　）
　　A. 50° B．60° C．70° D．80°
　　5．如图4，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（　　）
　　A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
　　6．如图5，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
7. 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形.一定能拼成的图形是（ ）
A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤
　　8．如图6，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）
　　A．邻边相等的矩形是正方形　　 B．对角线相等的菱形是正方形
　　C．两个全等的直角三角形构成正方形　 D．轴对称图形是正方形

　　9．如图7，把一个矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
　　10．如图8，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE＝1，DE＝3，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　）
　　A．3 B．6 C．3 D．4
　　二、填空题（每小题4分，共32分）
　　11．在□ABCD中，若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是菱形．
　　12．如图9，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，若AD＝ED＝EC，∠ADE＝20°，则∠AEC的度数为＿＿＿＿．

13．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若菱形ABCD的面积为48 cm2，且AE=6 cm，则AB的长为_________．
　　14. 如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________．
15. （2015年赤峰）如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件：____________，使得四边形BDFC为平行四边形．
16. 如图12，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为_________.
17. 如图13，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB的长为_________cm.

　　18．如图14，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________．
　　三、解答题（共58分）
　　19．（8分）如图15，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，P是AC的中点．求证：∠BDP＝∠DBP．

　　20．（8分）如图16，在直线MN上和直线MN外分别取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D．求证：四边形ACBD是矩形．

　　21．（10分）如图17，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．
　　求证：（1）△AED≌△CFD；
　　（2）四边形ABCD是菱形．

22. （10分）如图18，在□ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12，CE＝5．求□ABCD的周长和面积．

　　23．（10分）如图19， 在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．

　　24．（12分）如图20，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q．
　　（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
　　（2）若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动，设点P的运动时间为t s，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

　　附加题（15分，不计入总分）
　　以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH．
　　（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH也是正方形；如图②，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）．

　　（2）如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α（0°＜α＜90°）．
　　①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG.
　　③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

参考答案
一、1．D 2．B　 3．C 4．B　 5．B　 6．C　 7. D　 8．A　 9．D　 10．D
二、11．答案不唯一，如∠ADC＝90° 　AB＝BC 12．120°　 13．8 cm
14．4.8 15. 答案不唯一，如BD∥FC，或BC=DF，或DE=CE
16. 12 17. 18．
　　三、19．证明：因为∠ABC＝∠ADC＝90°，点P是AC的中点，所以BP＝AC，DP＝AC．所以BP＝DP．所以∠BDP＝∠DBP．
　　20．证明：因为AD平分∠BAＮ，所以∠DAＮ＝∠BAD．因为CD∥ＭＮ，所以∠CDA＝∠DAＮ．所以∠BAD＝∠CDA．所以DO＝AO．同理，CO＝AO．所以CO＝DO．又AO＝BO，所以四边形ACBD是平行四边形．因为AC，AD均为角平分线，所以∠CAD＝90°，所以平行四边形ACBD是矩形．
　　21．证明：（1）因为DE⊥AB，DF⊥BC，所以∠AED＝∠CFD＝90°．因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A＝∠C．又DE＝DF，所以△AED≌△CFD．
　　（2）因为△AED≌△CFD，所以AD＝CD．因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．
22．解：因为BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠DCB.
因为AB∥CD，所以∠ABC+∠DCB=180°.
所以∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠DCB）=90°.
所以△EBC是直角三角形.
因为BE＝12，CE＝5，由勾股定理，得BC=13.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
所以∠DEC=∠ECB.
因为∠ECD=∠ECB，所以∠DEC=∠ECD.
所以DE=CD.
同理，AB=AE.
所以AB+CD=AE+DE=AD=BC=13.
所以□ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=13+13+13=39．
过点E作EH⊥BC于点H.
所以S△EBC=BC·EH=BE·CE=×12×5=30.
所以□ABCD的面积为BC·EH=2×30=60.
　　23．解：因为∠ADC＝90°，EF⊥AD，EG⊥CD，所以四边形EFDG是矩形．
　　又DE平分∠ADC，所以EF＝EG．所以四边形EFDG是正方形.
　　24．（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，OD＝OB．所以∠PDO＝∠QBO．
　　又∠POD＝∠QOB，所以△POD≌△QOB．所以OP＝OQ．所以四边形PBQD为平行四边形．
　　（2）解：能．由题意，知AP＝t cm，PD＝（4－t） cm．当PB＝PD＝（4－t） cm时，四边形PBQD是菱形．因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAP＝90°．在Ｒt△ABP中，AP2＋AB2＝PB2，即t2＋32＝（4－t）2．解得t＝．所以当点P的运动时间为 s时，四边形PBQD是菱形．
附加题
（1）解：四边形EFGH是正方形．
　　（2）①解：在□ABCD中，AB∥CD，所以∠BAD＝180°-∠ADC＝180°－α．因为△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，所以∠HAD＝∠EAB＝45°．
所以∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－α）＝90°＋α．
　　②证明：因为△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，所以AE＝AB，DG＝CD．在□ABCD中，AB＝CD，所以AE＝DG．因为△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，所以∠HDA＝∠CDG＝45°．所以∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝45°＋α＋45°＝90°＋α＝∠HAE．又HA＝HD，所以△HAE≌△HDG，所以HE＝HG．
　　③解：四边形EFGH是正方形．
理由：同②，得GH＝GF，FG＝FE．因为HE＝HG，所以GH＝GF＝EF＝HE．所以四边形EFGH是菱形．因为△HAE≌△HDG，所以∠DHG＝∠AHE．因为∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，所以∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°．所以四边形EFGH是正方形．