傅里叶级数-变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.1,信号分解为正交函数,4.2,傅里叶级数,4.3,周期信号的频谱,4.4,非周期信号的频谱（傅里叶变换）,4.5,傅里叶变换的性质,4.6,周期信号的傅里叶变换,4.7 LTI,连续系统的频域分析,4.8,取样定理,本章主要内容,:,变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。,在第二章中我们以,为基本信号将任意信号进行分解,其中,h,(,t,),反映了系统的特性。,(,虚指数函数,),为基本信号,本章以正弦函数或,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或,虚指数函数之和。,任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚,指数函数积分。,具有一定幅度和相位，角频率为,的虚指数函数,作用于,LTI,连续系统时，所引起的响应,(,零状态响应,),是同频率的虚指数函数，可表示为：,系统的影响表现为频率响应函数,，它是信号角,频率,的函数，而与时间,t,无关，用于系统分析的独立变,量为,，故称之为频域分析。,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的,概念相似。,为各相应方向的正交单位矢量。,它们组成一个二维正交矢量集。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,4.1,信号分解为正交函数,（,2,）,正交函数集,在区间 上的,n,个函数（非零）,其中任意两个均满足,为常数，则称函数集 为区间,内的正交函数集。,（,1,）,正交函数,在 区间上定义的非零,实,函数,和 若满足条件,则函数 与 为在区间 的正交函数。,一、正交函数集,（,3,）完备正交函数集,之外不存在函数,如果在正交函数集,满足等式,，则称该函数集为完备正交函数集。,在区间,内组成完备正交函数集。,对于复函数,:,若复函数集,在区间,满足,，则称此复函数集为正交函数集。,复函数集,在区间,内是完备的正交函数集。,其中,。,二、信号分解为正交函数,设有,n,个函数,在区间,构成,一个正交函数空间。将任一函数,用这,个正交函数的线性组合来近似，可表示为：,根据最小均方误差原则，可推出：,式中：,如果分解的项数越多则误差愈小。即,，均,方误差,，即,在区间,内分解为无穷多项,之和。,4.2,傅里叶级数,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集,是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的,无穷级数就分别称为,“,三角形傅里叶级数,”,或,“,指数形傅,里叶级数,”,，统称为傅里叶级数。,一、周期信号的分解,设有一个周期信号,，它的周期是,，角频率,，它可分解为：,其中,称为傅里叶系数，,。,那么,傅里叶系数如何求得呢,?,式中：,由上式可见，,是,的偶函数,，,是,的奇函数，,由于,是同频率项,因此可将其合并,式中：,则有,可见，,是,的偶函数，即有,而,是,的奇函数，即有,可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直 流分量 ，一次谐波或基波 ，它的角 频率与原周期信号相同，二次谐波 ，,以此类推，三次，四次等谐波。,一般而言 称为 次谐波 ，,是 次谐波的振幅，是其初相角。,*结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。,例,4.2-1,将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。,解：,它仅含有一、三、五、七,.,等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,T,T/2,0,t,(a),基波,0,T/2,T,t,(b),基波,+,三次谐波,0,T/2,T,t,(c),基波,+,三次谐波,+,五次谐波,0,T/2,T,t,(c),基波,+,三次谐波,+,五次谐波,+,七次谐波,图,4.2-3,方波的组成,（,1,）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。,（,2,）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（,3,）即使,，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有,的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。,(,吉布斯现象）,主体,-,低频,细节,-,高频,若给定的,有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。,（,1,）,为偶函数,则有,，波形对称于纵坐标。,二、奇偶函数的傅里叶系数,从而有,（,2,）,为奇函数,则有,，波形对称于原点。,进而有,这时有,实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。,其中,*,一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。,如果,的前半周期波形移动,后，与后半周期波形,对称于横轴即：,，称为奇谐函数。,此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不,含有偶次谐波分量。即,0,t,-T,T,-T/2,f,(t),T/2,1,-1,图,4.2-6,奇谐函数,（,3,）,为奇谐函数,例,4.2-2,正弦交流信号,经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。,（,a,）,全波整流信号,（,b,）,半波整流信号,解,（,1,）全波整流信号,图（,a,）,的全波整流信号可写成（其周期,，,为原正弦信号角频率,）,由于它是,t,的偶函数，故,，,基波角频率,与信号角频率,相等,并令,，对上式进行变量替换得,:,可见，它除直流外，仅含有,的偶次谐波。,想一想：本题中若把,f,1,(t),看成以,T/2,为周期，则,由于它仍是的偶函数，故,，,令,，则,对上式进行变量替换,:,（,2,）半波整流信号,图（,b,）,的半波整流信号可写为（其周期,）,它的傅里叶级数可直接由下式求出,本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：,讨论,关于,n,的奇偶性。,是,n,的偶函数。,是,n,的奇函数。,是,n,的偶函数。,是,n,的奇函数。,三、傅里叶级数的指数形式,将上式第三项中的,用,代换，并考虑到,是,的偶函数，即,；,是,的奇函数,则上式可写为,:,如将上式中的,写成,（,），,则上式可以写成,:,令复数量,，称其为,复,傅里叶,系数，简称傅里叶系数。其模为,，相角为,，,则得傅里叶级数的指数形式为,复傅里叶系数,这就是求指数形式傅里叶级数的复系数,的公式。,任意周期信号,可分解为许多不同频率的虚指数信号,之和，其各分量的复数幅度（或相量）为,。,与,互为共轭。,与,的关系。,三角形式傅里叶级数：,指数形式傅里叶级数：,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函,数或虚指数函数之和。,复傅里叶系数,与,，,，,的关系,本节小结,1,、傅里叶级数的两种形式,2,、傅里叶系数的奇偶性,三角形式,指数形式,