导数的应用(一)-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

3.2导数的应用导数的应用(一一)2014 高考会这样考 1.利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值；2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题复习备考要这样做 1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义，体会导数的工具作用；2.理解导数和单调性的关系，掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤1 函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值难点正本疑点清源1 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较2 f(x)0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件3 对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0处有极值的必要不充分条件1 若函数 f(x)在 x1 处取极值，则 a_.x2ax1答案3解析f(x).因为 f(x)在 x1 处取极值，所以 1 是 f(x)2x22xx2ax12x22xax120 的根，将 x1 代入得 a3.2 函数 f(x)x3ax2 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即 a3x2在(1，)上恒成立 a3.3.如图是 yf(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1 是 f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3 是 f(x)的极小值点其中正确的判断是_(填序号)答案解析f(x)在2，1上是小于等于 0 的，f(x)在2，1上是减函数；f(1)0 且在 x0 两侧的导数值为左负右正，x1 是 f(x)的极小值点；对，不对，由于 f(3)0.4 设函数 g(x)x(x21)，则 g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D.2 3933答案C解析g(x)x3x，由 g(x)3x210，解得 x1，x2(舍去)3333当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下表：x0(0，33)33(33，1)1g(x)0g(x)0极小值0所以当 x时，g(x)有最小值 g.33(33)2 395(2011辽宁)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)答案B解析设 m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在 R 上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0 的解集为x|x1，即 f(x)2x4 的解集为(1，).题型一利用导数研究函数的单调性例 1 已知函数 f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中 tR.(1)当 t1 时，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当 t0 时，求 f(x)的单调区间思维启迪：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论解(1)当 t1 时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令 f(x)0，解得 xt 或 x.t2因为 t0，所以分两种情况讨论：若 t0，则 0，则t0 和 f(x)0，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递增；33当 x(2，2)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增33综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，33f(x)的单调减区间是(2，2)33(2)f(x)3x26ax33(xa)21a2当 1a20 时，f(x)0，f(x)为增函数，故 f(x)无极值点；当 1a20 时，f(x)0 有两个根 x1a，a21x2a.a21由题意，知 2a3，a21或 2a3，a21无解，的解为 a0，知ax22ax10 在 R 上恒成立，即 4a24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知0a1.所以 a 的取值范围为a|00，故 f(x)在(，2)上为增函数；当 x(2,2)时，f(x)0，故 f(x)在(2，)上为增函数由此可知 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)16c，f(x)在 x2 处取得极小值 f(2)c16.由题设条件知 16c28，解得 c12.此时 f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此 f(x)在3,3上的最小值为 f(2)4.利用导数求函数最值问题典例：(14 分)已知函数 f(x)ln xax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值审题视角(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f(x)0，f(x)0)，1 分1x当 a0 时，f(x)a0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，)3 分1x当 a0 时，令 f(x)a0，可得 x，1x1a当 0 x0；1a1axx当 x 时，f(x)0，1a1axx故函数 f(x)的单调递增区间为，(0，1a单调递减区间为.5 分1a，)(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)1aln 22a.9分当 2，即 0a 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)1a12a.10分当 1 2，即 a1 时，函数 f(x)在上是增函数，在上是减函数又 f(2)1a121，1a1a，2f(1)ln 2a，所以当 aln 2 时，最小值是 f(1)a；12当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.12 分综上可知，当 0aln 2 时，函数 f(x)的最小值是a；当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 22a.14 分答题模板答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数 f(x)的导数 f(x)；第二步：求 f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求 f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1 注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想2 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2 函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1.若函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)的图象可能为()答案C解析根据 f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A，D；从适合 f(x)0 的点可以排除 B.2 设 aR，若函数 yexax，xR 有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0 时，ex1，aex1.3 函数 f(x)x33x22 在区间1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令 f(x)0，得 x0 或 x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.4 若函数 f(x)x3 ax2(a1)x1 在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)内为增函1312数，则实数 a 的取值范围是 ()Aa2 B5a7C4a6 Da5 或 a7答案B解析因为 f(x)x3 ax2(a1)x1，1312所以 f(x)x2axa1，由题意知当 1x4 时，f(x)0 恒成立，即 x2axa10 在(1,4)上恒成立，a(x1)x21，ax1(1x2 或 a0，a2 或 a1.三、解答题(共 22 分)8(10 分)已知函数 f(x)ax2bln x 在 x1 处有极值.12(1)求 a，b 的值；(2)求函数 yf(x)的单调区间解(1)f(x)2ax.又 f(x)在 x1 处有极值.bx12得Error!即Error!解之得 a，b1.12(2)由(1)可知 f(x)x2ln x，其定义域是(0，)，12且 f(x)x.1xx1x1x由 f(x)0，得 0 x0，得 x1.所以函数 yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)9(12 分)已知函数 f(x)ax36ax2b，是否存在实数 a、b，使 f(x)在1,2上取得最大值 3、最小值29？若存在，求出 a、b 的值，若不存在，请说明理由解显然 a0，f(x)3ax212ax3a(x24x)令 f(x)0，得 x0 或 x4(舍去)当 a0 时，f(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)极大值当 x0 时，f(x)取得最大值，f(0)3，b3.又 f(1)7a3f(2)16a3，最小值 f(2)16a329，a2.当 a0 时，f(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)极小值当 x0 时，f(x)取得最小值，b29.又 f(1)7a29f(2)16a29，最大值 f(2)16a293，a2.综上，Error!或Error!B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1(2012重庆)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf(x)的图象可能是()答案C解析f(x)在 x2 处取得极小值，当 x2 时，f(x)单调递减，即 f(x)2 时，f(x)单调递增，即 f(x)0.当 x0；当 x2 时，yxf(x)0；当2x0 时，yxf(x)0 时，yxf(x)0.结合选项中图象知选 C.2 函数 yxex，x0,4的最小值为 ()A0 B.C.D.1e4e42e2答案A解析yex(x1)，y与 y 随 x 变化情况如下表：x0(0,1)1(1,4)4y0y0取极大值1e4e4当 x0 时，函数 yxex取到最小值 0.3 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)xf(x)0的解集为()A(4,0)(4，)B(4,0)(0,4)C(，4)(4，)D(，4)(0,4)答案D解析令 g(x)xf(x)，则 g(x)为奇函数且当 x0 时，g(x)f(x)xf(x)0 的解集为(，4)(0,4)二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 已知函数 f(x)x3ax2bxc(x2,2)对应的曲线 C 过坐标原点，且在 x1 处切线的斜率均为1，则 f(x)的最大值和最小值之和等于_答案0解析由曲线 f(x)x3ax2bxc(x2,2)过坐标原点可知 c0.f(x)3x22axb，由已知得Error!解得 a0，b4，f(x)x34x，f(x)在 x2,2上有最大值，最小值，且函数 f(x)x34x 为奇函数，函数 f(x)x34x 的最大值和最小值之和为 0.5 设函数 f(x)p2ln x(p 是实数)，若函数 f(x)在其定义域内单调递增，则实数 p 的(x1x)取值范围为_答案1，)解析易知函数 f(x)的定义域为(0，)，因为 f(x)，要使 f(x)为单调增px22xpx2函数，须 f(x)0 在(0，)上恒成立，即 px22xp0 在(0，)上恒成立，即p在(0，)上恒成立，又1，2xx212x1x2x1x所以当 p1 时，f(x)在(0，)上为单调增函数6 已知函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是_答案(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)，显然 a0，f(x)3(x)(x)，aa由已知条件 01，解得 0a2 时，求函数 f(x)的极小值；(2)试讨论函数 yf(x)的图象与 x 轴公共点的个数解(1)因为 f(x)3ax23(a2)x63a(x1)，(x2a)所以易求出函数 f(x)的极小值为 f(1).a2(2)若 a0，则 f(x)3(x1)2，所以 f(x)的图象与 x 轴只有 1 个交点；若 a0，a2f(x)的极小值为 f0，(2a)所以 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点；若 0a2，则 f(x)的极大值为 f(1)0，a2f(x)的极小值为 f2，由(1)知 f(x)的极大值为f42 0，(2a)(1a34)34f(x)的极小值为 f(1)0，a2所以 f(x)的图象与 x 轴只有 1 个交点综上，知若 a0，f(x)的图象与 x 轴只有 1 个交点；若 a0，f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点