二次函数与幂函数-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

2.4二次函数与幂函数二次函数与幂函数2014 高考会这样考 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用；3利用幂函数的图象、性质解决有关问题复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质1 二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域4acb24a，)(，4acb24a单调性在 x上单调递减；(，b2a在 x上单调递增b2a，)在 x上单调递增；(，b2a在 x上单调递减b2a，)奇偶性当 b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数顶点(b2a，4acb24a)对称性图象关于直线 x成轴对称图形b2a3.幂函数形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数4 幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较难点正本疑点清源1 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式(3)已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f(x)更方便2 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在(1，)上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴(2)函数 yx，yx2，yx3，yx，yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代12表1 已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围为_答案(，2解析f(x)的图象的对称轴为 x1a 且开口向上，1a3，即 a2.2已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_答案1,2解析yx22x3 的对称轴为 x1.当 m2 时，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，无解1m2.3 若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图象不经过原点，则实数 m 的值为_答案1 或 2解析由Error!，解得 m1 或 2.经检验 m1 或 2 都适合4(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 yxn在第一象限的图象已知 n 取2，四个12值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4的 n 值依次为_答案2，21212解析可以根据函数图象是否过原点判断 n 的符号，然后根据函数凸凹性确定 n 的值5 函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是 ()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函数 f(x)x2mx1 的图象的对称轴为 x，且只有一条对称轴，所以m2 m21，即 m2.题型一求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用解方法一设 f(x)ax2bxc(a0)，依题意有Error!解之，得Error!所求二次函数解析式为 f(x)4x24x7.方法二设 f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，抛物线对称轴为 x.m.2121212又根据题意函数有最大值为 n8，yf(x)a28.(x12)f(2)1，a281，解之，得 a4.(212)f(x)4284x24x7.(x12)方法三依题意知，f(x)10 的两根为x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，a0.即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即8，4a2a1a24a解之，得 a4 或 a0(舍去)函数解析式为 f(x)4x24x7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果 已知二次函数 f(x)同时满足条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为 15；(3)f(x)0 的两根立方和等于 17.求 f(x)的解析式解依条件，设 f(x)a(x1)215(a2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围思维启迪：对于(1)，由 f(0)1 可得 c，利用 f(x1)f(x)2x 恒成立，可求出 a，b，进而确定 f(x)的解析式对于(2)，可利用函数思想求得解(1)由 f(0)1 得，c1.f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，Error!Error!因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x23x1m 在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10 得，m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点(2012苏州模拟)已知函数 f(x)x2mxn 的图象过点(1,3)，且 f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称(1)求 f(x)与 g(x)的解析式；(2)若 F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数 的取值范围解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又 f(1x)f(1x)，m22m，即 m2.又 f(x)的图象过点(1,3)，312mn，即 mn2，n0，f(x)x22x，又 yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当 10 时，F(x)的对称轴为 x，222111又F(x)在(1,1上是增函数Error!或Error!.1 或10.当 10，即 1 时，F(x)4x 显然在(1,1上是增函数综上所述，的取值范围为(，0题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的 a 的取值范围m3m3思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数 m22m30，再结合 m 是整数，及幂函数是偶函数可得 m 的值解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函数的图象关于 y 轴对称，m22m3 是偶数，而 222233 为奇数，122134 为偶数，m1.而 f(x)x 在(，0)，(0，)上均为减函数，13(a1)32a0 或 0a132a 或 a1032a.1313解得 a1 或 a.2332故 a 的取值范围为.a|a 1或23 a f(a1)的实数 a2的取值范围解(1)m2mm(m1)，mN*，而 m 与 m1 中必有一个为偶数，m(m1)为偶数函数 f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数 f(x)经过点(2，)，22(m2m)1，即 2 2(m2m)1.212m2m2.解得 m1 或 m2.又mN*，m1.由 f(2a)f(a1)得Error!解得 1a0，即 a0，由 a21 知 a1，因此，a 的取值范围为(，13 分(2)记 f(x)的最小值为 g(a)，则有f(x)2x2(xa)|xa|Error!5 分()当 a0 时，f(a)2a2，由知 f(x)2a2，此时 g(a)2a2.7 分()当 aa，则由知 f(x)a2.23若 xa，由知 f(x)2a2 a2.此时 g(a)a2，2323综上，得 g(a)Error!.10 分(3)()当 a时，解集为(a，)；(，62 22，)()当 a时，解集为；22，22)a 32a23，)()当 a时，解集为(62，22).14 分(a，a 32a23 a 32a23，)温馨提醒分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一本题充分体现了分类讨论的思想方法在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数 a 的值时，讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小；3解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解2 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是Error!.(2)ax2bxc0 时，f()24，得 2.4 或 2.2 已知函数 f(x)x22x2 的定义域和值域均为1，b，则 b 等于 ()A3 B2 或 3 C2 D1 或 2答案C解析函数 f(x)x22x2 在1，b上递增，由已知条件Error!即Error!解得 b2.3 设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是 ()答案D解析由 A，C，D 知，f(0)c0，ab0，b2a知 A，C 错误，D 符合要求由 B 知 f(0)c0，ab0，x0，B 错误b2a4 设二次函数 f(x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，且 f(m)f(0)，则实数 m 的取值范围是 ()A(，0 B2，)C(，02，)D0,2答案D解析二次函数 f(x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，则 a0，f(x)2a(x1)0，即函数图象的开口向上，对称轴 是直线 x1.所以 f(0)f(2)，则当 f(m)f(0)时，有 0m2.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式为_答案y(x2)21126 已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围为_答案(，2解析f(x)的图象的对称轴为 x1a 且开口向上，1a3，即 a2.7 当 时，幂函数 yx的图象不可能经过第_象限1，12，1，3答案二、四解析当 1、1、3 时，yx的图象经过第一、三象限；当 时，yx的图12象经过第一象限三、解答题(共 25 分)8(12 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且 f(x)2x 的解集为x|1x3，方程 f(x)6a0 有两相等实根，求 f(x)的解析式解设 f(x)2xa(x1)(x3)(a0)，则 f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20,16a216a436a20，20a216a40,5a24a10，(5a1)(a1)0，解得 a 或 a1(舍去)15因此 f(x)的解析式为 f(x)(x1)(x3)159(13 分)(2012玉林调研)是否存在实数 a，使函数 f(x)x22axa 的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由解f(x)(xa)2aa2.当 a1 时，f(x)在1,1上为增函数，Error!a1(舍去)；当1a0 时，Error!a1；当 01 时，f(x)在1,1上为减函数，Error!a 不存在综上可得 a1.B 组专项能力提升一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1(2012合肥调研)已知幂函数 f(x)x的图象经过点，则 f(4)的值等于(2，22)()A16 B.116C2 D.12答案D解析将点代入得：2，所以 ，(2，22)2212故 f(4).122(2012温州十校联考)已知函数 f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是 ()A(0,2)B(0,8)C(2,8)D(，0)答案B解析当 m0 时，显然不合题意；当 m0 时，f(0)10，若对称轴0，即4m2m0m4，结论显然成立；若对称轴4，只要 4(4m)28m4(m8)(m2)0 即可，即4m2m4m8，综上，0m8，选 B.3 已知二次函数 yx22ax1 在区间(2,3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是()Aa2 或 a3 B2a3Ca3 或 a2 D3a2答案A解析由函数图象知，(2,3)在对称轴 xa 的左侧或右侧，a3 或 a2.二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)4 已知二次函数 yf(x)的顶点坐标为，且方程 f(x)0 的两个实根之差等于 7，(32，49)则此二次函数的解析式是_答案f(x)4x212x40解析设二次函数的解析式为 f(x)a249(a0)，方程 a(x)2490 的两个(x32)32根分别为 x1，x2，则|x1x2|27，49aa4，故 f(x)4x212x40.5 若方程 x211x30a0 的两根均大于 5，则实数 a 的取值范围是_答案0a14解析令 yx211x30a，结合图象有0a.146 已知 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，且其定义域为a1,2a，则 yf(x)的值域为_答案1，3127解析f(x)ax2bx3ab 是偶函数，其定义域a1,2a关于原点对称，即 a12a，a，f(x)ax2bx3ab 是偶函数，13即 f(x)f(x)，b0，f(x)x21，x，其值域为.1323，231，3127三、解答题(13 分)7 已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a 的值解f(x)(xa)2a2a1，当 a1 时，ymaxa；当 0a1 时，ymaxa2a1；当 a0 时，ymax1a.根据已知条件：Error!或Error!或Error!解得 a2 或 a1.