直线、平面垂直的判定与性质-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

8.5直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质2014 高考会这样考 1.考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3.考查平行和垂直的综合问题；4.考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想复习备考要这样做 1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2.解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3.重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破1 直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行2 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面难点正本疑点清源1 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点 P 作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点 P 并且和 垂直的平面，设 l，在 内作直线 al，则 a.2 两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线1 一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是_答案垂直解析由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论2.ABC 中，ABC90，PA平面 ABC，则图中直角三角形的个数是_答案43、是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_答案可填与中的一个4 设 a，b，c 是三条不同的直线，是两个不同的平面，则 ab 的一个充分条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案C解析对于选项 C，在平面 内作 cb，因为 a，所以 ac，故 ab；A，B 选项中，直线 a，b 可能是平行直线，也可能是异面直线；D 选项中一定有 ab.5 (2011辽宁)如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角答案D解析易证 AC平面 SBD，因而 ACSB，A 正确；ABDC，DC平面 SCD，故AB平面 SCD，B 正确；由于 SA，SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同.题型一直线与平面垂直的判定与性质例 1 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.思维启迪：第(1)问通过 DC平面 PAC 证明；也可通过 AE平面 PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 PD 与平面 ABE 内的两条相交直线垂直证明(1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)，知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，PAAB.又ABAD 且 PAADA，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面 ABE.探究提高破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在(2012陕西)(1)如图所示，证明命题“a 是平面 内的一条直线，b 是 外的一条直线(b 不垂直于)，c 是直线 b 在 上的投影，若 ab，则 ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)(1)证明如图，记 cbA，P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点，过 P 作 PO，垂足为 O，则 Oc.因为 PO，a，所以直线 POa.又 ab，b平面 PAO，PObP，所以 a平面 PAO.又 c平面 PAO，所以 ac.(2)解逆命题为 a 是平面 内的一条直线，b 是 外的一条直线(b 不垂直于)，c 是直线 b 在 上的投影，若 ac，则 ab.逆命题为真命题题型二平面与平面垂直的判定与性质例 2(2012江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1上的点(点 D 不同于点 C)，且 ADDE，F 为B1C1的中点求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE.思维启迪：(1)证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线；(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点证明(1)因为 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.又 AD平面 ABC，所以 CC1AD.又因为 ADDE，CC1，DE平面 BCC1B1，CC1DEE，所以 AD平面 BCC1B1.又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点，所以 A1FB1C1.因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1，所以 CC1A1F.又因为 CC1，B1C1平面 BCC1B1，CC1B1C1C1，所以 A1F平面 BCC1B1.由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD.又 AD平面 ADE，A1F平面 ADE，所以 A1F平面 ADE.探究提高面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法(2011江苏)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.证明(1)如图，在PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EFPD.又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.(2)连接 BD.因为 ABAD，BAD60，所以ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.题型三线面、面面垂直的综合应用例 3 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8，AB2DC4.5(1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD平面 PAD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积思维启迪：(1)因为两平面垂直与 M 点位置无关，所以在平面 MBD 内一定有一条直线垂直于平面 PAD，考虑证明 BD平面 PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为 P 到面 ABCD 的距离(1)证明在ABD 中，AD4，BD8，AB4，5AD2BD2AB2.ADBD.又面 PAD面 ABCD，面 PAD面 ABCDAD，BD面 ABCD，BD面 PAD.又 BD面 BDM，面 MBD面 PAD.(2)解过 P 作 POAD，面 PAD面 ABCD，PO面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高又PAD 是边长为 4 的等边三角形，PO2.3在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，四边形 ABCD 为梯形在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为，4 84 58 55此即为梯形的高S四边形 ABCD24.2 54 528 55VPABCD 24216.1333探究提高当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直 如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD为正方形，E 为线段 AD1的中点，F 为线段 BD1的中点，(1)求证：EF平面 ABCD；(2)设 M 为线段 C1C 的中点，当的比值为多少时，DF平面 D1MB？并说明理由D1DAD(1)证明E 为线段 AD1的中点，F 为线段 BD1的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面 ABCD，EF平面 ABCD.(2)解当时，DF平面 D1MB.D1DAD2ABCD 是正方形，ACBD.D1D平面 ABC，D1DAC.AC平面 BB1D1D，ACDF.F，M 分别是 BD1，CC1的中点，FMAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形 D1DBB1为正方形2F 为 BD1的中点，DFBD1.FMBD1F，DF平面 D1MB.解答过程要规范典例：(14 分)如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面 A1MK；(2)平面 A1B1C平面 A1MK.审题视角(1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直规范解答证明(1)如图所示，连接 NK.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2 分N，K 分别为 CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形 DD1KN 为平行四边形3 分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形 AA1KN 为平行四边形ANA1K.4 分A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK，AN平面 A1MK.7 分(2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K 分别为 AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形 BC1KM 为平行四边形MKBC1.9 分在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B1C.12 分MKB1C.A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面 A1MK，平面 A1MK平面 A1B1C.14 分温馨提醒(1)步骤规范是答题得满分的最后保证，包括使用定理的严谨性，书写过程的流畅性(2)本题证明常犯错误：定理应用不严谨如：要证 AN平面 A1MK，必须强调 AN平面 A1MK.解题过程不完整，缺少关键步骤，如第(1)问中，应先证四边形 ANKA1为平行四边形第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅方法与技巧1 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a；(2)判定定理 1：Error!l；(3)判定定理 2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为 90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决失误与防范1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若 lm，m，则 lB若 l，lm，则 mC若 l，m，则 lmD若 l，m，则 lm答案B解析若 lm，m，则 l 与 可能平行、相交或 l；若 l，lm，则 m；若l，m，则 l 与 m 可能平行或异面；若 l，m，则 l 与 m 可能平行、相交或异面，故只有 B 选项正确2 已知平面 与平面 相交，直线 m，则()A 内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直B 内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直D 内必存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直答案C解析如图，在平面 内的直线若与，的交线 a 平行，则有 m与之垂直但却不一定在 内有与 m 平行的直线，只有当 时才存在3 已知 m 是平面 的一条斜线，点 A，l 为过点 A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 ()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l答案C解析设 m 在平面 内的射影为 n，当 ln 且与 无公共点时，lm，l.4 正方体 ABCDABCD中，E 为 AC的中点，则直线 CE 垂直于()AAC BBD CAD DAA答案B解析连接 BD，BDAC，BDCC，且 ACCCC，BD平面 CCE.而 CE平面 CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5.如图，BAC90，PC平面 ABC，则在ABC，PAC 的边所在的直线中：与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_答案AB，BC，ACAB解析PC平面 ABC，PC 垂直于直线 AB，BC，AC；ABAC，ABPC，AB平面 PAC，ABPC.与 AP 垂直的直线是 AB.6.如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知 PA平面 ABC，PABC.又 ACBC，PAACA，BC平面 PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面 PBC，AFPB，AFBC.又 AEPB，AEAFA，PB平面 AEF.PBEF.故正确7 已知平面，和直线 m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有 m.(填所选条件的序号)答案解析若 m，则 m.三、解答题(共 22 分)8(10 分)如图所示，在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，A1B1A1C1，侧面 BB1C1C底面 A1B1C1.(1)若 D 是 BC 的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1的平面交侧棱于 M，若 AMMA1，求证：截面MBC1侧面 BB1C1C.证明(1)ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC.底面 ABC侧面 BB1C1C，AD侧面 BB1C1C，ADCC1.(2)如图，延长 B1A1与 BM 的延长线交于点 N，连接 C1N.AMMA1，MA1綊 BB1，12NA1A1B1.A1B1A1C1，A1C1A1NA1B1，NC1C1B1.底面 NB1C1侧面 BB1C1C，C1N侧面 BB1C1C，截面 C1NB侧面 BB1C1C，即截面 MBC1侧面 BB1C1C.9(12 分)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是CD、A1D1的中点(1)求证：AB1BF；(2)求证：AEBF；(3)棱 CC1上是否存在点 P，使 BF平面 AEP？若存在，确定点 P 的位置，若不存在，说明理由(1)证明连接 A1B，则 AB1A1B，又AB1A1F，且 A1BA1FA1，AB1平面 A1BF.又 BF平面 A1BF，AB1BF.(2)证明取 AD 中点 G，连接 FG，BG，则 FGAE，又BAGADE，ABGDAE.AEBG.又BGFGG，AE平面 BFG.又 BF平面 BFG，AEBF.(3)解存在取 CC1中点 P，即为所求连接 EP，AP，C1D，EPC1D，C1DAB1，EPAB1.由(1)知 AB1BF，BFEP.又由(2)知 AEBF，且 AEEPE，BF平面 AEP.B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1 已知 l，m 是不同的两条直线，是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是()A若 l，则 lB若 l，则 lC若 lm，m，则 lD若 l，m，则 lm答案D解析l，l.又m，lm.2(2012浙江)已知矩形 ABCD，AB1，BC，将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直2线进行翻折，在翻折过程中 ()A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直答案B解析找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量对于选项 A，过点 A 作 AEBD，垂足为 E，过点 C 作 CFBD，垂足为 F，在图(1)中，由边 AB，BC 不相等可知点 E，F 不重合在图(2)中，连接 CE，若直线 AC 与直线 BD 垂直，又ACAEA，BD面 ACE，BDCE，与点 E，F 不重合相矛盾，故 A 错误对于选项 B，若 ABCD，又ABAD，ADCDD，AB面 ADC，ABAC，由 ABAB，2不存在这样的直角三角形C 错误由上可知 D 错误，故选 B.3.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则 C1在底面 ABC 上的投影 H 必在 ()A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上DABC 内部答案A解析由 BC1AC，又 BAAC，则 AC平面 ABC1，因此平面 ABC平面 ABC1，因此 C1在底面 ABC 上的投影 H 在直线 AB 上二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA、PB、PC 两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3解析如图所示PAPC、PAPB，PCPBP，PA平面 PBC.又BC平面 PBC，PABC.同理 PBAC、PCAB.但 AB 不一定垂直于 BC.5 在正四棱锥 PABCD 中，PAAB，M 是 BC 的中点，G 是PAD 的重心，则在平32面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有_条答案无数解析设正四棱锥的底面边长为 a，(如图)则侧棱长为a.32由 PMBC，PMa.(32a)2(a2)222连接 PG 并延长与 AD 相交于 N 点，则 PNa，MNABa，22PM2PN2MN2，PMPN，又 PMAD，PNADN，PM面 PAD，在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直6 已知 a、b、l 表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若 a，b，且 ab，则；若 a、b 相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则 b；若 a，b，la，lb，l，则 l.其中正确命题的序号是_答案解析在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，可令平面 A1B1CD 为，平面 DCC1D1为，平面 A1B1C1D1为，又平面 A1B1CD平面DCC1D1CD，平面 A1B1C1D1平面 DCC1D1C1D1，则 CD 与C1D1所在的直线分别表示 a，b，因为 CDC1D1，但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1不平行，即 与 不平行，故错误因为 a、b 相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确当 ab 时，l 垂直于平面 内两条不相交直线，不可得出 l，错误三、解答题7(13 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1BC，A1AC60，A1AACBC1，A1B.2(1)求证：平面 A1BC平面 ACC1A1；(2)如果 D 为 AB 中点，求证：BC1平面 A1CD.证明(1)因为A1AC60，A1AAC1，所以A1AC 为等边三角形所以 A1C1.因为 BC1，A1B，所以 A1C2BC2A1B2.2所以A1CB90，即 A1CBC.因为 BCA1A，BCA1C，AA1A1CA1，所以 BC平面 ACC1A1.因为 BC平面 A1BC，所以平面 A1BC平面 ACC1A1.(2)连接 AC1交 A1C 于点 O，连接 OD.因为 ACC1A1为平行四边形，所以 O 为 AC1的中点因为 D 为 AB 的中点，所以 ODBC1.因为 OD平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.