用MATLAB求解微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.微分方程的解析解,求微分方程（组）的解析解命令:,dsolve(方程1,方程2,方程n,初始条件,自变量),结 果：u=tan(t-c),用MATLAB求解微分方程,解,输入命令：dsolve(Du=1+u2,t),1,解,输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为:y=3e,-2x,sin（5x）,2,解,输入命令：,x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；,x=simple(x)%将x化简,y=simple(y),z=simple(z),结 果 为：x=(c,1,-c,2,+c,3,+c,2,e,-3t,-c,3,e,-3t,)e,2t,y=-c,1,e,-4t,+c,2,e,-4t,+c,2,e,-3t,-c,3,e,-3t,+c,1,-c,2,+c,3,)e,2t,z=(-c,1,e,-4t,+c,2,e,-4t,+c,1,-c,2,+c,3,)e,2t,3,2.用Matlab求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x,0,options）,ode45 ode23 ode113ode15sode23s,由待解方程写成的m-文件名,ts=t,0,，t,f,，t,0、,t,f,为自变量的初值和终值,函数的初值,ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法,ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法,自变量值,函数值,用于设定误差限(缺省时设定相对误差10,-3,绝对误差10,-6,),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.,4,1、在解n个未知函数的方程组时，x,0,和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组,.,注意:,5,解:,令 y,1,=x，y,2,=y,1,1、建立m-文件vdp1000.m如下：,function,dy=vdp1000(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t,0,=0，t,f,=3000，输入命令：,T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);,plot(T,Y(:,1),-),3、结果如图,6,解,1、建立m-文件rigid.m如下：,function,dy=rigid(t,y),dy=zeros(3,1);,dy(1)=y(2)*y(3);,dy(2)=-y(1)*y(3);,dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、,取t,0,=0，t,f,=12，输入命令：,T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);,plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图,图中，y,1,的图形为实线，y,2,的图形为“*”线，y,3,的图形为“+”线.,7,导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v,0,(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v,0,，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一,（解析法）,8,由(1),(2)消去t整理得模型:,9,解法二,(数值解),1.建立m-文件eq1.m,function,dy=eq1(x,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2.,取x,0,=0，x,f,=0.9999，建立主程序ff6.m如下,：,x,0,=0，x,f,=0.9999,x,y=ode15s(,eq1,x0 xf,0 0);,plot(x,y(:,1),b.,),hold on,y=0:0.01:2;,plot(1,y,b*,),结论:,导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰,令y,1,=y,y,2,=y,1,，将方程（3）化为一阶微分方程组。,10,解法三,(建立参数方程求数值解),设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t)，y(t).,3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t,11,4.解导弹运动轨迹的参数方程,建立m-文件eq2.m如下：,function,dy=eq2(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,取t,0,=0，t,f,=2，建立主程序chase2.m如下：,t,y=ode45(,eq2,0 2,0 0);,Y=0:0.01:2;,plot(1,Y,-,)，hold on,plot(y(:,1),y(:,2),*,),12,轨迹图如下,13,