江苏省决胜新高考联盟2025高三下学期2月大联考数学+答.docx

决胜新高考——2025届高三年级大联考 数 学
一 、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1. 已知集合A={0,1},AUB={0,1,2,3},则下列关系一定正确的是( )
A.1∉B B.{0,1}QB C.{2,3}=B D.{1,2,3}=B
2. 已知数列{a,}是公差为d 的等差数列，对正整数m,n,p, 若 m+n=2p, 则 am+an=a₂p, 是a₁=d 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3. 已知复数z 满足 z|(3+4i) |=5 (其中i为虚数单位),且z的虚部为 则z= ( )
* 1
A. B.
1 5
4. 如图，高速服务区停车场某片区有A 至H 共8个停车位(每个车位只停一辆 车),有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列 的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为( )
A
B
C
D
E
F
G
H

A.



B.



C.

D.

5. 如图，已知二面角α-1-β的平面角为60°,棱1上有不同两点A,B,ACcα,
BDcβ,AC⊥1,BD⊥1. 若 AC=AB=BD=2, 则过A,B,C,D四点的球的表面积为 ( )

A. B. C.


D.21π 则cosa=( )

7. 已知F₁,F₂为椭圆C₁ 与双曲线C₂ 公共的焦点，且C₁,C₂在第一象限内的交点为P,
若C₁,C₂的离心率e,e₂满 则∠ F₁ PF₂ =( )
A. B. D.
8. 已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x), 对 任 意 正 数 x,y 满 足
f(xy)+1=f(x)+f(y), 且当x>1 时 ，f(x)>1, 若f(Inx)<f(ax²), 则实数a 的取
值范围是( )
A.(1,+∞) B. C. D.
二 、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共计18 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求 的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
9. 已知单位向量a,b的夹角为θ,则下列结论正确的有( )
A.(a+b)⊥(a-b) B.a 在5方向上的投影向量为(a ·b)5
C. 若 a|+5|=1, 则θ=60° D. 若(a+b) ·a=(a-b) ·a则a1/
10. 已知随机变量X 服从正态分布N(0,1),定义函数f(x)为X 取值不小于x的概 率，即f(x)=P(X≥x), 则 ( )
A.f(x)+f(-x)=1 B.f(x)>f(2x)
C.f(x) 为减函数 D.f(x) 为偶函数
11. 已知点P 在曲线x²=2y 上运动，过M(0,3) 作以P 为圆心，1为半径的圆的两
条切线MA,MB, 则 的值可能是( )
A. B. C.4 D.5

三 、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共计15分 .请 把答案填写在答题卡相应位置上)
12. 已知展开式中常数项为280,则n= ·
13. 已知函数)的部分图象如图中实线所示，圆C 与 f(x) 图象交于M,N 两点，且M 在y 轴上，则圆C的半径为 ·

14. 已知 有两个极值点，则实数a的取值范围为
四 、解答题(本大题共5小题，共计77分 .请在答题卡指定 区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15 . (本小题13分)
已知正项数列{a,}的前n 项和为s, 且4Sₙ=(aₙ+1)² .
(1)求数列{an}的通项公式；
( 2 ) 若b=a·a, 求数列{bₙ}的前n 项 和Tₙ .
16 . (本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中 ，A₁ 在底面ABC 上的射影为线段BC 的中点， M 为 线段B₁C₁的中点，且AA₁=2AB=2AC=4,∠BAC=90° .

(1)求三棱锥M-A₁BC 的体积；

( 2 ) 求MC与平面MA₁B所成角的正弦值.
17 . (本小题15分)
某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐
厅甲就餐的概率为 第二天选择餐厅乙就餐的概率为;前 一 天选择餐厅乙就 餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为 第二天选择餐厅甲就餐的概率为 若 学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 选择餐厅乙就餐的概率是 记某同学 第n 天选择餐厅甲就餐的概率为Pn.
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X, 求随机变量X 的分布列及 期望E(X);
(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志 愿服务，请求出{Pₙ}的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者 人数，并说明理由.
18 . (本小题17分)
已知椭圆C:)的右焦点为F, 点 在椭圆C 上，且PF 垂直于 x 轴 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线1交椭圆C 于 A,B 两点， A,B,F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关 于PF 对称 .
(i) 证明：直线1过定点；
(ii) 求△ABF 面积的最大值.
19 . (本小题17分)
已知函数f(x)=e+x²-x(lnx+a-1), 其 中a∈R,e 为自然对数的底数.
( 1 ) 函 求 g(x') 的最小值φ(a);

( 2 ) 若x,x₂ (x₁ <x₂) 为函数f(x)的两个零点，证明：

参 考 答 案
1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 9.AB 10.AC 11.BCD

12.7 13.


4


15.解：(1)因为4S,=(a+1)²,
所以当n≥2 时，4Sn₋1=(an₋1+1)²,
所以4aₙ=(an+1)²-(an₋1+1)²=aₙ²-an₋²+2a-2aₙ₋1,
整理，得2an+2an-1=(an-an-1)(an+an-1). 2 分 因为an>0,
所以an-an-1=2,
所以数列{a} 是公差为2的等差数列. ……………………………………………………3分 当n=1 时，4S₁=4a=(a₁+1)²,
解得 a=1,……………………………………………………………………………………5 分 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.…………………………………………………6 分
( 2 ) 由 ( 1 ) 得b₀=an·a₂=(2n-1)(2'+¹-1)=(2n-1)2+¹-(2n-1). … … …7 分
记 , 则

.


…………………………………………………………………………

8分

因为
所以-Aₙ=2²+2(2³+2⁴+…+2'+¹)-(2n-1)2#+²=-(2n-3)2ᵗ+²-12,
所以Aₙ=(2n-3)2"+²+12,…………………………………………………………………12 分
所以Tₙ=An-Bn=(2n-3)2+2+12-n² 13 分
16.解：(1)取BC 的中点0,连接OA,OA₁ .
因为A,在底面ABC上的射影为0, 所以OA₁⊥面 ABC,
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，面ABC// 面A₁B₁C₁, 所以OA₁⊥面 A₁B₁C₁ . 因为MA₁C 面A₁B₁C₁,
所以OA₁⊥MA₁ . 2 分 在△A₁B₁C₁中 ，M 为线段B₁C₁的中点， B₁C₁⊥MA₁ .
因为BC//B₁C₁,
所以 BC⊥MA. 4 分
因为OA₁c 面 A₁BC,BCc 面A₁BC,OA₁∩BC=0,
所以MA₁⊥面A₁BC 5 分

.


……………………………………………

7分

( 2 ) 设C 到平面MA₁B的距离为d, 则

在 Rt△MA,B中 ，MA₁=√2,A₁B=√OA²+OB²=√ 14+2=4,
所 以
所以 ……………………………………………………………………11分 设MC 与平面MA₁B 所成角为θ,则

所 以MC 与平面MA₁B 所成角的正弦值为 . … … … … … … … … … … … … … … … … 15分 (其他方法酌情给分)
17.解：(1)因为
所以
随机变量X 的 可 能 值 为 0 , 1 , 2 , 3 ,
所以

所以随机变量X的概率分布为：

… …………………………………5分

X
0
1
2
3
P

所 以 . …………………………………………………………………7分
( 2 ) 因 为
所以 ………………………………………9分
所以 是等比数列，
所 以 ………………………………………………………………11分 因 为 当n→+0 时 ， ………………………………………………………………13分
所 以
所以甲餐厅志愿者9人，乙餐厅志愿者12人 . … … … … … … … … … … … … … … … … … 15分
18.解：(1)设椭圆C 的焦距为2c(c>0), 则 c=1.
因为点 在椭圆C 上 ，

所以
解得 a=2.……………………………………………………………………………………2 分 所以 b²=a²-c²=4-1=3,
所以椭圆C 的方程为 …………………………………………………………4分
(2)(i) 设直线1的方程为y=kx+m, 则

消去y, 整理得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0, 因为1交椭圆C 于 A,B 两点，
所以△>0,
所以 .…………………… ………………………………6分
因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称， 所以

所以8km²-24k-8km²+8k²m-8mk²-6m=0,
所以m=-4k 8 分 所以直线l的方程为y=k-4k=k(x-4),
所以直线1过定点(4,0). ……………………………………………………………………10分 (ii) 设直线1的方程为x=ny+4, 则

消去x, 整理得(3n²+4)y²+24ny++36=0, 因为1交椭圆C 于A,B 两点，
所以△=(24n)²-144(3n²+4)=144(n²-4)>0,
解得n²>4 12 分
所以 …………………………………………………………………14分

令n²-4=t,(t>0), 则



当且仅当时取等号.

所以△ABF 面积的最大值为 …………………………………………………………17分

19.解：(1)因为

所以
令g'(x)=0,解得x=1.…………………… ……………………………3分

x
(-∞0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
一
0
+
g(x)

极小值
7
所以g(x) 的最小值φ(a)=e+2-a 6 分
(2)因为函数f(x) 有两个零点， 所以φ(a)=e+2-a<0,
解得a>e+2 8 分

令h(a)=e“-ea,(a≥1),则h'(a)=e“-e>0, 所以h(a) 在(e+2,+∞) 上单调递增，
因为h(1)=0, 所以h(a)>0,
所以g(a)>0. ………………………………………………………………………………10分 因为g(1)<0,
根据零点存在定理，连续函数g(x)在(1,a)上有零点.
因为g(x) 在(1,a) 上单调递增，
所以1<x₂ <a.………………………………………………………………………………12 分

,则
所以 . ……………………………………………………………………………14分 因为g(1)<0,
根据零点存在定理，连续函数g(x)在上有零点.
因为g(x) 在上单调递减，
所以 …………………………………………………………………………16分
所以 .………………………………………………………17分