三角形全等之倍长中线(讲义).doc

三角形全等之倍长中线（讲义）
Ø 课前预习
1. 填空
（1）三角形全等的判定有：
三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；
两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；
斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．
（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．

2. 想一想，证一证
已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．
（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；
（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．

Ø 知识点睛
1. “三角形全等”辅助线：
见中线，要__________，________之后______________．
2. 中点的思考方向：
①（类）倍长中线

延长AD到E，使DE=AD， 延长MD到E，使DE=MD，
连接BE 连接CE

②平行夹中点

延长FE交BC的延长线于点G

Ø 精讲精练
1. 如图，AD为△ABC的中线．
（1）求证：AB+AC >2AD．
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．

3. 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．
求证：∠AEF=∠EAF．

5. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．
求证：AD为△ABC的角平分线．

6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．

7. 如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．
求证：EG=CG且EG⊥CG．

【参考答案】
Ø 课前预习
1. （1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；
直角，HL
（2）全等，三，边
2. （1）证明：如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）证明：如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
∵AC∥BD
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（ASA）
Ø 精讲精练
1. （1）证明：如图，

延长AD至E，使DE=AD，连接BE
∴AE=2AD
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=AC
在△ABE中，AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
（2）解：由（1）可知
AE=2AD，BE=AC
在△ABE中，
AB-BE<AE<AB+BE
∵AC=3，AB=5
∴5-3<AE<5+3
∴2<2AD<8
∴1<AD<4
2. 证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC

3. 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中

∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中

∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE

4. 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5. 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中

∴△CFE≌△BME（SAS）
∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线

6. 解：如图，延长AF交BC的延长线于点G
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中

∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EG-CG
=5-2.7
=2.3
7. 证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M

由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵点G为FD的中点
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中

∴△FGE≌△DGM（AAS）
∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG

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