定积分典型例题.doc

定积分典型例题
定积分典型例题

例1 求．
分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解 将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
==．
例2 =_________．
解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()
与轴所围成的图形的面积．故=．
例18 计算．
分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 ＝＝＝．
注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.
例19 计算．
分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数
．
解
例20 设是连续函数，且，则．
分析 本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．
解 因连续，必可积，从而是常数，记，则
，且．
所以
，即，
从而，所以 ．
例21 设，，，求, 并讨论的连续性．
分析 由于是分段函数, 故对也要分段讨论．
解 （1）求的表达式．
的定义域为．当时，, 因此
．
当时，, 因此, 则
==，
故
．
(2) 在与上连续, 在处，由于
, , ．
因此, 在处连续, 从而在上连xu

例22 计算．
分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．
解 =．由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是
===
由定积分的几何意义可知, 故
．
例23 计算．
分析 被积函数中含有与，考虑凑微分．
解 ===
==．
例24 计算．
解 ==
=
==
例26 计算，其中．
解法1 令，则

=．
注 如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．
例27 计算．
分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．
解 设，，，则
=
．
例29 计算．
分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．
解
．
例30 计算．
分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．
解 ==
=
．
例31 计算．
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．
解 由于
， 　　　　　　　　　 （1）
而

， （2）
将（2）式代入（1）式可得
,
故
．
例32　计算．
分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解
．　　　　　　　　　　　　　　（1）
令，则

． （2）
将（2）式代入（1）式中得
．
例33 设在上具有二阶连续导数，且，求．
分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
解 由于

．
故 ．
，
例35（00研） 设函数在上连续，且
，．
试证在内至少存在两个不同的点使得．
分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出
的三个零点，由已知条件易知，，为的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点．
证法1 令，则有．又

，
由积分中值定理知，必有，使得
=．
故．又当，故必有．
于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在
，，
使得
，即．
例36 计算．
分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．
解 ==
==
=．
例37 计算．
解
．
例38 计算．
分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当 和均收敛时，原反常积分才是收敛的．
解 由于
==
==．
==
==．
所以 ．
例39 计算．
分析 此题为混合型反常积分，积分上限为，下限为被积函数的瑕点．
解 令，则有
＝＝，
再令，于是可得
＝＝＝
＝＝
＝
＝＝．
例40 计算．
解 由于
，
可令，则当时，；当时，；当时，；当时，；故有

．
注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．
例41 求由曲线，，，所围成的图形的面积．
分析 若选为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以为积分变量．
解 选取为积分变量，其变化范围为，则面积元素为
==．
于是所求面积为
=．
例42 抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比．
解 抛物线与圆的交点分别为与，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分，，记它们的面积分别为，，则有
图5－1
5－1

图5－2
===，=，于是
==．
例43 求心形线与圆所围公共部分的面积．
分析 心形线与圆的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解 求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为

图5－3
==．
例44 求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．
分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．
解 设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为．又切线与直线，和曲线所围成的平面图形的面积为

图5－4
==．
由于
==，
令，解得驻点．当时，而当时．故当时，取得极小值．由于驻点唯一．故当时，取得最小值．此时切线方程为：
．
例45 求圆域（其中）绕轴旋转而成的立体的体积．
解 如图5－5所示，选取为积分变量，得上半圆周的方程为
，
下半圆周的方程为
．

图5－5
则体积元素为
==．于是所求旋转体的体积为
====．
注 可考虑选取为积分变量，请读者自行完成．
例46 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线与轴围成平面图形．
（1）求的面积；

图5－6
计算，如图5－6所示．
解 （1）设切点横坐标为，则曲线在点处的切线方程是
．
由该切线过原点知，从而，所以该切线的方程是．从而的面积
．
例47 有一立体以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．
解 选为积分变量且．过轴上坐标为的点作垂直于轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为，得等边三角形的面积为

图5－7
==．
于是所求体积为 ===

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