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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,上节主要内容,定义：设 ，若存在不全为零数,使得,则称向量组,线性相关,；不然称它们,线性无关,.,定理,向量组 线性相关充要条件是该向量组中最少有一个向量是其余向量线性组合.,推论 向量组线性无关充要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示.,1/23,正是因为有结论1和结论2，在讨论向量组线性相关性时候，经常讨论方程,解情况：有惟一解时线性无关；解不惟一时线性相关.,结论1,：向量组 线性相关,等价于,不止一组解；,结论2,：向量组 线性无关,等价于,结论3：向量组 线性无关则 线性无关.,结论4：向量组 线性相关则,线性相关.,2/23,2.3向量组与矩阵秩,2.4齐次线性方程组,3/23,本节主要内容,1.矩阵秩；,2.向量线性相关性与矩阵秩关系；,3.最大线性无关组；,4.齐次线性方程组解与系数矩阵秩关系；,5.齐次线性方程组基础解系与通解.,4/23,矩阵秩与向量组线性相关性,定义1：设A是一个m行n列矩阵，在A中取k行k列，由这些行、列交叉处元素按原来相对位置组成k阶行列式，称为A,k阶子式,.,定义2：矩阵A中不为零子式最高阶数称为,矩阵A秩,(Rank)，记为R(A).,要求：零矩阵秩为0.,依据矩阵秩定义，对于,mn,矩阵A,R(A)r,A有一个r阶子式不为零，且全部r+1阶子式都为零;,R(A)min(m,n)；,对n阶方阵A，若R(A)=n，即|A|,0，则称A为,满秩矩阵,，不然称为降秩矩阵.,小结,5/23,定理：mn矩阵Am个行向量线性相关,充要条件,是R(A)n)线性相关；,推论2：m个n维向量(m,n,)线性无关,充要条件,是由它们组成mn矩阵A秩R(A)=m.,推论3：n个n维向量线性无关充要条件是由它们组成矩阵行列式不等于零；线性相关充要条件是矩阵行列式等于零.,小结,6/23,例题1：求矩阵秩,解答：,所以矩阵秩为2.,7/23,能够证实：,矩阵初等行变换不改变矩阵秩,定理,将矩阵经过初等行变换化为,行阶梯型矩阵,，最终剩下,非零行行数就是矩阵秩.,小结,所以矩阵秩为2.,8/23,定义：设有向量组T，假如,(1)在T中有r个向量 线性无关；,(2)T中任意r+1个向量都线性相关.,则称 是向量组T一个,最大线性无关向量组,，简称,最大无关组,，数r称为向量组T,秩,.,注意：向量组最大无关组可能不止一个.,向量组秩,定理：矩阵A秩等于r,充要条件,是A中有r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量线性相关,.,定理 矩阵秩等于它行（列）向量组秩.,9/23,例题2 求以下向量组一个最大无关组，并把其它向量用最大无关组线性表示,解答：,所以一个最大无关组为,10/23,引理：设向量组 能够由 向量组 线性表示.假如sr，则 线性相关.,两个等价向量组秩相等.,定理：设有向量组T，假如,(1)在T中有r个向量 线性无关；,(2)T中任意一个向量 都能够由向量组 线性表示，则 是向量组T一个最大无关组.,本定理给出了判断最大无关组方法.,小结,定义：假如向量组 中每一个向量都能够由向量组 线性表示，则称向量组 能够由向量组,线性表示,.,定义：假如向量组 与 能够相互线性表示，则称这两个,向量组等价,.,11/23,齐次线性方程组解结构,问题：1.齐次线性方程组何时有惟一零解？,2.假如解个数多于一个，这些解之间有什么关系？,定理：齐次线性方程组,当其系数矩阵秩R(A)n时(矩阵秩与未知数个数相等)，只有惟一零解；,当R(A)n时(矩阵秩小于未知数个数时)，有没有穷多个解,.,小结,12/23,例题3：对于齐次方程组,当a取何值时，上述方程组,(1)有惟一零解；,(2)有没有穷多个解，并求出这些解.,齐次方程组有惟一解,系数矩阵秩未知数个数3,系数行列式不等于0,13/23,解答：系数矩阵行列式,所以 或,（1）齐次方程组有惟一零解,所以 且,（2）齐次方程组有没有穷多解,14/23,t取任意数,s，t取任意数,当 时，方程组成为,当 时，方程组成为,15/23,齐次线性方程组一个解组成一个,n维列向量,，称为,解向量,.,解向量性质：,1.若 都是齐次线性方程组解向量，k为常数，则 也都是齐次线性方程组解向量；齐次线性方程组全部解组成集合称为,解空间,.,2.齐次线性方程组全部解向量组成向量组有最大无关组；,3.,设 是齐次线性方程组解向量组一个最大无关组.则 任意线性组合都是齐次线性方程组解向量；同时，齐次线性方程组任意解向量都能够表示成向量组 线性组合,.,定义：设 是齐次线性方程组r个解向量，假如,(1)线性无关；,(2)齐次线性方程组任意一个解向量都能够由 线性表示，则称 是齐次线性方程组一个,基础解系,.,基础解系实际上就是解空间一个最大无关组.,16/23,齐次线性方程组通解,对于齐次线性方程组,当系数矩阵秩R(A)=r=n时，方程组有惟一解；,当系数矩阵秩R(A)=rn时，方程组有没有穷多组解.,定理 若n个未知量齐次线性方程组系数矩阵秩为r，则基础解系含有n-r个线性无关解向量.,设 是方程组一个基础解系，则全部解都能够写成,这种形式全部解称为齐次线性方程组,通解,.,17/23,例题4 求以下齐次线性方程组通解,(1)确定为齐次线性方程组；,(2)初等行变换化为行最简形矩阵，得系数矩阵秩r；,(3)由行最简形矩阵写出方程组普通解；,(4)用普通解结构基础解系，从而得到通解.,小结,18/23,课后练习,P63习题二,2.3(1),2.9,2.12（3）（4）,2.13（2）（6）,19/23,小结,1.,矩阵秩,，,矩阵秩求法,；,2.,向量线性相关性与矩阵秩关系,；,3.,向量组中最大无关组判定,；,4.,齐次线性方程组解个数判定,；,5.,齐次线性方程组有没有穷多解时解结构,.,20/23,作业,P63习题二,2.2(3),2.3(2)(3),21/23,K阶子式,问题：mn矩阵A有多少个k阶子式(k,m,k,n,)？,答：,返回,22/23,行阶梯形矩阵,定义 设A为m行n列矩阵，满足三个条件,（1）以下元全为零；,（2）每一行第一个非零元前面零元个数大于前一行这种零元个数；,（3）假如某一行元全为零，则以下全部行元全为零,则称A为,行阶梯形矩阵,.,返回,非零行第一个元为1，且这些1所在列其它元素全为零行阶梯形矩阵称为,行最简形矩阵,.,23/23,
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