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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 线性方程组,线性方程组消元法,线性方程组有解判别定理,线性方程组应用,第1页,第一节 线性方程组消元法,一、线性方程组基本概念,1.线性方程组定义,引例,有三家生产同一个产品工厂,A,1,、,A,2,、,A,3,，其年产量分别为40t，20t 和 10t，该产品每年有两个用户,B,1,、,B,2,，其用量分别为 45t 和 25t,第2页,引例,有三家生产同一个产品工厂,A,1,、,A,2,、,A,3,，其年产量分别为40t，20t 和 10t，该产品每年有两个用户,B,1,、,B,2,，其用量分别为 45t 和 25t,不妨假设每吨货物每公里运费为 1 元，问各厂产品怎样调配才能使总运费最少？,第3页,解,设各厂到各用户产品数量如表 1-2,依题意，3个厂总产量和用户总用量相等：,第4页,再来看总运费，由表1-1：,1,2,于是，题目要处理问题是：,使之满足方程组,和,并使总运费最少.,第5页,几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数个数为,n,，方程个数为,m,，则线性方程组能够写成以下形式 ：,若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，,不然，称为非齐次线性方程组.,第6页,2.线性方程组线性组合,线性方程加法：,将两个线性方程,(1),(2),左右两边相加得到以下新线性方程：,称为原来两个线性方程和。,第7页,线性方程乘常数,将线性方程,两边同乘以已知常数 ，,线性方程与常数相乘，也称为方程数乘。,线性方程线性组合,将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数,再将所得两个方程相加，得到新方程：,得到一个新线性方程：,第8页,(3),称为原来两个方程(1)和(2)一个,称为这个线性方程组合系数。,将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)解。对给定两个线性方程组(I)和(II)，假如(II)中每个方程都是(I)中方程线性组合，就称(II)是(I),线性组合,。,线性组合，,若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组,等价，,等价线性方程组一定同解。,将方程组(I)变成,方程组(II)过程称为,同解变换。,第9页,例1,二、线性方程组消元法,求解线性方程组,1、线性方程组初等变换,第10页,解,第11页,用“回代”方法求出解：,第12页,于是解得,(2),第13页,小结：,1上述解方程组方法称为,消元法,2一直把方程组看作一个整体变形，用到以下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程,k,倍,（以 替换 ）,定义1,上述三种变换均称为线性方程组初等变换,（以 替换）,（与 相互替换）,第14页,3上述三种变换都是可逆,因为三种变换都是可逆，所以变换前方程组与变换后方程组是同解故这三种变换是,同解变换,定理1,线性方程组初等变换总是把方程组变成同解方程组,第15页,2、利用初等变换解普通线性方程组(化为阶梯型方程组),第16页,2、利用初等变换解普通线性方程组(化为阶梯型方程组),第17页,2、利用初等变换解普通线性方程组(化为阶梯型方程组),第18页,2、利用初等变换解普通线性方程组(化为阶梯型方程组),第19页,2、利用初等变换解普通线性方程组(化为阶梯型方程组),第20页,第21页,第22页,第23页,定理2,在齐次线性方程组,证实：,显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，,方程个数不会超出原方程组中方程个数，即,第24页,在第一章用消元法讨论线性方程组,第二节 线性方程组有解判别定理,（1）,求解问题.,第三章中,(1)式写成以向量,x,为未知元方程,（2）,第25页,定理1,线性方程组(1)有解充分必要条件是,有没有穷多个解.,；当,时，方程组(1),只有唯一解；,时，方程组(1),证实,线性方程组,(1)经初等变换后可化为：,（3）,第26页,其中,那么，对应矩阵,行初等变换将方程组(1)系数矩阵,A,和增广,矩阵,B,分别化成,第27页,因为,都是阶梯型矩阵，所以能够看出,而,第28页,而初等变换不改变矩阵秩，所以,定理,2,n,元齐次线性方程组 有非零解充分必要条件是系数矩阵秩 .,推论,1,当 时，齐次线性方程组 只有唯一零解.,推论,2,当 时，齐次线性方程组 有非零解充分必要条件是 .,第29页,例1,解齐次线性方程组,解,对系数矩阵,A,作初等变换变为最简形：,第30页,原方程同解方程组为,取 为自由变量，即得,第31页,令 ，将之写成为通常参数形式,其中 为任意实数，写成列向量形式,第32页,例 2,设有线性方程组,（,1,）有唯一解；,（,2,）无解；,（,3,）有没有穷多个解？并在有没有穷多个解时求其通解,问 为何值时，此线性方程组,第33页,解,因为方程个数与未知量个数相同，,故可从系数矩阵行列式入手讨论,因为,第34页,故由,克拉默,法则知，当 ，时,当 时，写出对应方程组增广矩阵 ，,方程组有唯一解,并把它化成行阶梯形矩阵,第35页,所以方程组无解,第36页,当 时，,所以方程组无解,第37页,当 时，,所以方程组有没有穷多个解,第38页,取,为自由未知量，得原方程组同解方程组为,即,令 为任意常数，则得方程组通解为,第39页,例3,设有线性方程组,解,第40页,第41页,其通解为,第42页,这时又分两种情形：,第43页,定理,3,矩阵方程 有解充分必要条件是 .,第44页,例4,求解齐次线性方程组,解,第45页,即得与原方程组同解方程组,第46页,由此即得,第47页,例5,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵,B,进行初等变换，,故方程组无解,第48页,例6,求解非齐次方程组通解,解,对增广矩阵,B,进行初等变换,第49页,故方程组有解，且有,第50页,所以方程组通解为,第51页,例7,解证,对增广矩阵,B,进行初等变换，,方程组增广矩阵为,第52页,第53页,因为原方程组等价于方程组,由此得通解：,第54页,第三节 线性方程组应用,第55页,剑桥减肥食谱问题,一个在20世纪80年代很流行食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来。这是由Alan H.Howard博士领导科学家团体经过8年对过分肥胖病人临床研究，在剑桥大学完成。这种低热量粉状食品准确地平衡了碳水化合物、高质量蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望数量和百分比营养，Howard博士在食谱中加入了各种食品。每种食品供给了各种所需要成份，然而没有按正确百分比。比如，,第56页,脱脂牛奶是蛋白质主要起源但包含过多钙，所以大豆粉用来作为蛋白质起源，它包含较少许钙。然而大豆粉包含过多脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多碳水化合物,在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模情形。表1是该食谱中3种食物以及100克每种食物成份含有一些营养素数量。,第57页,3,1.1,7,0,脂肪,45,74,34,52,碳水化合物,33,13,51,36,蛋白质,乳清,大豆面粉,脱脂牛奶,减肥所要,求每日,营养量,每,100,克食物所含营养（,g,）,营 养,表,1,第58页,假如用这三种食物作为天天主要食物，那么它们用量应各取多少才能全方面准确地实现这个营养要求？,以100克为一个单位，为了确保减肥所要求每日营养量，设每日需食用脱脂牛奶,x,1,个单位，大豆面粉,x,2,个单位，乳清,x,3,个单位，则由所给条件得,第59页,解上方程组得，解为,即为了确保减肥所要求每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克,。,MATLAB代码以下：,Untitled2.m,clear;,A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1;,b=33;45;3;,U=rref(A,b),第60页,网络流问题,当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中流动时自然推导出线性方程组。比如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状市区道路交通流量模式；电气工程师计算流经电路电流；以及经济学家分析经过分销商和零售商网络从制造商到用户产品销售。许多网络中方程组包括成百甚至上千变量和方程。,一个网络包含一组称为接合点或节点点集，并由称为分支线或弧连接部分或全部节点。流方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标识,。,第61页,网络流基本假设是全部流入网络总流量等于全部流出网络总流量，且全部流入一个节点流量等于全部流出此节点流量。于是，对于每个节点流量能够用一个方程来描述。,网络分析问题就是确定当局部信息（如网络输入）已知时，求每一分支流量。,第62页,电路问题,在工程技术中所碰到电路，大多数是很复杂，这些电路是由电器元件按照一定方式相互连接而组成网络。在电路中，含有元件导线称为支路，而三条或三条以上支路会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上电流和电压。对于这类问题计算，通常采取基尔霍夫（Kirchhoff）定律来处理。以图3-2所表示电路网络部分为例来加以说明。,第63页,第64页,设各节点电流如图所表示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流之间关系：在任一节点处，支路电流代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点电流取为负，流出节点电流取为正）。该定律也称为节点电流定律），有,对于节点A：,对于节点B,：,对于节点C,：,对于节点D：,第65页,于是求各个支路电流就归结为下面齐次线性方程组求解,对应MATLAB代码为：,dianliu.m,clear,A=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0;,b=0;0;0;0;,R,s=rref(A,b);,r=length(s);,disp(对应齐次线性方程组基础解系为：),x=null(A,r),第66页,其中,:,因为,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,i,6,均为正数，所以通解中3个任意常数应满足以下条件：,假如,则,：,解之，得其解为,第67页,交通流问题,图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络车流量。,第68页,第69页,由网络流量假设，有,对于节点A：,对于节点B：,对于节点C：,对于节点D：,对于节点E：,于是，所给问题能够归结为以下线性方程组求解。,第70页,求解该问题对应MATLAB代码,：,wangluo.m,clear,A=-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1;,1,0,-1,0,0,0;,b=50;0;-60;50;-40;,R,s=rref(A,b);,m,n=size(A);,x0=zeros(n,1);,r=length(s);,x0(s,:)=R(1:r,end);,disp(非齐次线性方程组特解为：),x0,disp(对应齐次线性方程组基础解系为：),x=null(A,r),第71页,解这个方程组，得,其中,：,第72页,马尔科夫链,马尔科夫链在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型。在每种情形中，该,模型习惯上用来描述用同一个方法进行屡次试验或测量，试验中每次测试结果属于几个指定可能结果之一，每次测试结果依赖于最近前一次测试。,比如，若每年要统计一个城市及其郊区人口，像 这么向量能够显示60%人口住在这个城市中，40%人口住在郊区。中分量加起来等于1，是说明这个地域总人口。,第73页,当向量在 中一个马尔科夫链描述一个系统或试验时，中数值分别列出系统在,n,个可能状态中概率，或试验结果是,n,个可能结果之一概率。称为状态向量。,马尔科夫链可用一阶差分方程来刻画：,定义1,一个含有非负分量且各分量数值相加等于1向量称为概率向量；各列向量均为概率向量方阵称为随机矩阵；一个概率向量序列 和一个随机矩阵,P,，使得,称为马尔科夫链,。,第74页,下面我们先看一个数值例子,例,令 考虑系统：它状态由马尔科夫链 描述，伴随时间流逝，这个系统将有什么结果？,解,后面向量中数值保留4位或5位有效数字,。,第75页,继续可得,这些向量似乎是迫近,。注意到下面,第76页,若系统处于状态,q,，则从上一次测量到下一次测量，系统没有发生改变,。,定义2,若,P,是随机矩阵，则满足 概率向量,q,称为随机矩阵,P,稳态向量。若随机矩阵,P,幂,仅包含正数值，称,P,是一个正则随机矩阵。,在上例中，向量,q,是随机矩阵,P,稳态向量。又,第77页,关于马尔科夫链我们有下面定理,定理,若,P,是一个 正则随机矩阵，则,P,含有惟一稳态向量,q,。深入，若,x,0,是任一个起始状态，且,，则当 时，马尔科夫链 收敛到,q,。,这个定理证实在相关马尔科夫链教科书可找到，这里不做证实。这个定理奇妙之处于于初始状,因为,P,2,中每个数是严格正，故,P,是一个正则随机矩阵。,第78页,状态对马尔科夫链长久行为没有影响。下面举一例说明求解随机矩阵稳态向量一个方法。,例,设,，,求,P,稳态向量。,解,由定义知，稳态向量是方程解，所以求稳态向量就是要解这个方程。,即,第79页,最终，在,全体解集合中求一个概率向量，这是简单，在通解中，令 ，得,则,q,即为所求。,轻易求得其通解为,对应MATLAB代码为：,weitai.m,P=0.6,0.3;0.4,0.7;,E=1,0;0,1;,R,s=rref(P-E);,r=length(s);,x=null(P-E,r),第80页,联合收入问题,已知三家企业X,Y,Z含有图2-1所表示股份关系，,即X企业掌握Z企业50%股份，Z企业掌握X企业30%股份，而X企业70%股份不受另两家企业控制等等,。,现设X，Y和Z企业各自营业净收入分别是12万,元、10万元、8万元，每家企业联合收入是其净收入,加上在其它企业股份按百分比分成收入、试确定各,企业联合收入及实际收入。,第81页,解,依照图2-1所表示各个企业股份百分比可知，若,设X、Y、Z三企业联合收入分别为,x,y,z,则其实际收,入分别为0.7,x,，0.2,y,，0.3,z,。故而现在应先求出各个公,司联合收入。,因为联合收入由两部分组成，即营业净收入及从,其它企业分成收入，故对每个企业可列出一个方程,，,对X企业为,x=,10+0.7,y,+0.5,z,对Y企业为,y,=100000+0.2,z,对Z企业为,z,=80000+0.3,x,+0.1,y,第82页,故得线性方程组,因系数行列式,故此方程组有唯一解。,MATLAB代码为：,syms x y z,eq1=sym(x-0.7*y-0.5*z=10);,eq2=sym(y-0.2*z=100000);,eq3=sym(-0.3*x-0.1*y+z=80000);,x y z=solve(eq1,eq2,eq3),第83页,Y企业联合收入为,y=,137309.64(元),实际收入为,0.2*137309.64=27461.93(元),Z企业联合收入为,z,=186548.22(元),实际收入为,0.3*186548.22=55964.47(元),于是X企业联合收入为,X=309390.86(元),实际收入为,0.7,*309390.86=216573.60（元）,第84页,当代飞行器外形设计例,把飞行器外形分成若干大部件，每个部件沿着其表面又用三维细网格划分出许多立方体，这些立方体包含了机身表面以及此表面内外空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包含了与它相邻立方体共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体数目能够多达400,000个，而要解联立方程可能多达2,000,000个。,第85页,向量组线性相关性应用,第86页,药方配制问题,经过中成药药方配制问题，了解向量组线性相关性、最大线性无关组向量线性表示以及向量空间等线性代数知识。,问题：,某中药厂用9种中草药A-I，依据不一样,百分比配制成了7种特效药，各用量成份见表1（单位：克）。,第87页,20,6,2,0,12,2,8,I,10,35,10,10,16,5,6,H,25,39,2,25,17,4,9,G,50,55,35,5,35,5,25,F,6,33,5,25,2,1,0,E,35,47,15,5,25,9,7,D,0,14,5,0,11,3,5,C,55,60,35,25,12,0,12,B,100,38,20,12,14,2,10,A,7号成药,6号成药,5号成药,4号成药,3号成药,2号成药,1号成药,中药,表 1,第88页,试解答：,（,1）某医院要购置这7种特效药，但药厂第3 号药和第6号药已经卖完，请问能否用其它,特效药配制出这两种脱销药品。,（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新特效药，表2给出了三种新特效药成份，,请问能否配制？怎样配制？,第89页,30,52,14,I,21,68,41,H,38,118,71,G,80,155,50,F,7,60,53,E,51,102,44,D,8,27,14,C,67,141,62,B,88,162,40,A,3号新药,2号新药,1号新药,中药,表 2,第90页,解：,（1）把每一个特效药看成一个九维列向量:,u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,u,6,u,7,分析7个列向量组成向量,组线性相关性。,若向量组线性无关，则无法配制脱销特效药；若向量组线性相关，且能将,u,3,u,6,用其余向,量线性表示，则能够配制3号和6号药品,问题（1）分析与求解,第91页,Matlab代码,u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;,u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;,u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;,u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;,u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;,u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;,u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;,U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,U0,r=rref(U),计算结果为,第92页,从最简行阶梯型U,0,中能够看出r=1 2 4 5 7，R(U)=5,向量组线性相关，一个最大无关组为,故能够配制3号和6号药。,第93页,问题（2）分析与求解,三种新药用,v,1,，,v,2,，,v,3,表示，问题化为,v,1,，,v,2,，,v,3,能否由,u,1,-,u,7,线性表示，若能表示，则可配制；不然，不能配制。,令 U=,u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,u,6,u,7,v,1,v,2,v,3,U,0,r=rref(U),计算结果为,v,1,v,2,v,3,第94页,由,U,0,最终三列能够看出结果,一个最大无关组为,：,u,1,u,2,u,4,u,5,u,7,v,3,能够看出,v,1,=,u,1,+3,u,2,+2,u,4,，,v,2,=3,u,1,+4,u,2,+2,u,4,+,u,7,因为,v,3,在最大无关组,不能被线性表示，所以无,法配制。,第95页,特征值、特征向量应用,第96页,假设,A,可对角化，特征向量 ，特征值,基，故任一初始向量,x,0,可惟一表示为,(1),x,0,这种特征向量分解确定了序列 所发生情况。因为 是特征向量，所以,普通地,有,(2),第97页,下面例子说明当 时，(2)会出现什么结果。,生态系统,用 表示在时间,k,（单位：月）猫头鹰和老鼠数量，是在研究区域猫头鹰数量，是老鼠数量（单位是千只）。设它们满足下面方程,（3）,其中,p,是被指定正参数。第1个方程中 表示，假如没有老鼠为食物，每个月仅有40%猫头鹰存活下来，第2个方程 表明，假如没有猫头鹰捕食老鼠，则老鼠数量每个月增加20%。若有足够多老鼠，表示猫头鹰增加数量，而负,第98页,解,方程（3）差分方程形式为 ，其中,当,p=,0.325时，矩阵特征值为 和 ，对应特征向量是,初始向量,x,0,可表示为 ，那么对,k,0,，有,项 表示因为猫头鹰捕食所引发老鼠死亡数量（实际上，一个猫头鹰每个月平均吃掉1000,p,只老鼠）。当,p=,0.325时，预测该系统发展趋势。,第99页,当,k,时，很快趋于零。假设,c,1,0，那么对全部足够大,k,，有,(4),伴随,k,增大，上式近似程度会更加好，故对足够大,k,(5),近似式（5）表明最终 2个分量（猫头鹰和老鼠数量）每个月以大约1.05倍数增加，即月增加率为5%。由（4），就近似等于（6,13）倍数，所以，2分量之比率也近似于6与13比率,第100页,该例说明了相关生态系统 两个基本事实，若,A,是,n,阶矩阵，它特征值满足 和 ，,是 对应特征向量，若,x,0,由(1)式给出且 ，那么对足够大,k,，,(6),和,(7),式（6）和（7）近似精度可依据需要经过取足够大,k,来得到。由（7）式知，每时段最终以近似 倍数增加，所以，确定了系统最终增加率。一样由（6）式知，对足够大,k,，2个分量 之比近似等于,p,1,对应分量之比。,也就是说，对应每6只猫头鹰，大约有13000只老鼠。,第101页,二次型应用,第102页,工程师、经济学家、科学家和数学家经常要寻找在一些特定集合内,x,值，使得二次型,x,T,Ax,取最大值或最小值。含有代表性是，这类问题可化为,x,是在一组单位向量中变量优化问题。下面我们将看到，这类条件优化问题有一个有趣且精彩解。我们还是从一个简单例子开始我们讨论,。,例,在下一年度，某县政府计划用一笔资金修,x,百公里公路，修整,y,百平方公里公园，政府部门必须确定在两个项目上怎样分配它资金，假如可能话，能够同时开始两个项目，而不是仅开始一个项目。假设,x,和,y,必须满足下面限制条件,第103页,见图5-12。每个阴影可行集合点(,x,y,)表示一个可能年度工作计划，求在限制曲线 上点，使资金利用到达最大。,第104页,为了制订工作计划，县政府需要考虑居民意见，为度量居民分配各类工作计划(,x,y,)值或效用，经济学家常利用下面函数,称之为,效用函数,，,曲线 （,c,为常数）称之为无差异曲线，因为在该曲线上任意点效用值相等。,现制订一个工作计划，使得效用函数到达最大,。,解,约束条件方程 并没有描述一个单位向量集，可进行变量代换修正这个问题。把约束条件方程变形：,第105页,令,，,则约束条件变成,，,效用函数变成,令,，,则原问题变为，在限制条件,下 最大值。,二次型 矩阵为,A,特征值为,10,，对应特征值10单位特征向量为 。所以 最大值为10，且在,处取得。,第106页,于是，最优工作计划是修建 百公里公路，修整 百平方公里公园。最优工作计划是限制曲线和无差异曲线切点，含有更大效用点(,x,y,)位于和限制曲线不相交无差异曲线上，见图5-13。,第107页,可逆矩阵应用,第108页,密码问题,矩阵密码法是信息编码与解码技巧，其中一个是,基于利用可逆矩阵方法。先在26个英文字母与数字,间建立起一一对应，比如能够是,若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸是，这种编码很轻易被他人破译。在一个较长信息编码中，人们会依据那个出现频率最高数值而猜出它代表是哪个字母，比如上述编码中出现最屡次数值时5，人们自,第109页,然会想到它代表是字母E，因为统计规律告诉我们，,字母E是英文单词中出现频率最高。,我们能够利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY,进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增加非法用,户破译难度，而让正当用户轻松解密。假如一个矩阵,A,元素均为整数，而且其行列式,|,A,|=1，那么由,即知，,A,-1,元素均为整数。我们能够利用这,样矩阵A来对明文加密，使加密之后密文极难破译,。现在取,第110页,明文“SEND MONEY”对应9个数值3列被排成以下,矩阵,矩阵乘积,对应着将发出去密文编码：,43，105，81，45，118，77，49，128，93,正当用户用,A,-1,去左乘上述矩阵即可解密得到明文。,第111页,为了结构“密钥”矩阵,A,，我们能够从单位阵,I,开始，有,限次地使用第三类初等行变换，而且只用某行整数,倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用。,这么得到矩阵,A,，其元素均为整数，而且因为|,A,|=,1可知，,A,-1,元素必定均为整数。,第112页,矩阵对角化应用,第113页,行业就业人数预测,设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、,商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社,会调查表明：,（1）在这30万就业人员中，当前约有15万人从事,农业，9万人从事工业，6万人经商。,（2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%,改为经商。,（3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%,改为经商。,（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%,改为务工。,现欲预测一、二年后从事各业人员人数，以及,经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。,第114页,解,若用3维向量 表示第,i,年后从事这三种职业,人员总数，则已知 而欲求,，并考查在 时 发展趋势。,依题意，一年后，从事农、工、商人员总数应为,即,第115页,进而推得,即,n,年之后从事各业人员人数完全由,A,n,决定。实际上，,利用实对称矩阵正交对角化方法，能够轻松求得,A,n,。,第116页,人口迁徙问题,设在一个大城市中总人口是固定。,人口分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变,化。每年有6%市区居民搬到郊区去住，而有2%,郊区居民搬到市区。假如开始时有30%居民住在市,区，70%居民住在郊区，问后市区和郊区居,民人口百分比是多少？30年、50年后又怎样？,第117页,分析与求解,这个问题能够用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区,和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分,别为：,xc0=0.3，xs0=0.7，,一年以后，,市区人口为,xc1,(1,0.06),xc0,0.02xs0,，,郊区人口,xs1,0.06xc0,(1,0.02)xs0,用矩阵乘法来描述，可写成,：,第118页,建立模型并用MATLAB求解,从初始到,k,年，此关系保持不变，所以上述算式,可写为,输入：,A,0.94,0.02;0.06,0.98,x0,0.3;0.7,x1,A*x0,x10,A10*x0,x30,A30*x0,x50,A50*x0,得到：,第119页,人口分布趋势分析,无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数,0.25/0.75,。,为了搞清为何这个过程趋向于一个稳态值。先求A特征值和特征向量，得到,第120页,将A对角化,第121页,人口分布趋势,式中第二项会伴随,k,增大趋向于零。假如只取小数点后两位，则只要,k,27,，这第二项就能够忽略不计，从而得到,。,第122页,
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