1.正弦定理.doc

教师课时教案
备课人

授课时间

课题
1．1．1正弦定理
课标要求
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法
教
学
目
标
知识目标
理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；
技能目标
理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性
情感态度价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教

学

过

程

及

方

法
问题与情境及教师活动
学生活动
讲授新课
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
则 A c
从而在直角三角形ABC中， b
C B
a
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
（证法一）如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，
同理可得，
从而

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（证法二）：过点A作，
由向量的加法可得
则
∴

∴，即
同理，过点C作，
可得
从而
（证法三）：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴ 同理 =2R，＝2R

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；

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②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
三、讲解范例
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，

；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 在
解：∵

∴
例3．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，

因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，

⑵ 当时，

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评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1） 定理的表示形式：

或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

教
学
小
结

课后
反思

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