正弦定理知识点与典型例题.doc

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正弦定理
【基础知识点】
1. 三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝ab sin C＝bc sin A＝＝ca sin B；
sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC,
sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2
2．三角形中的边角不等关系: A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；
3．【正弦定理】：＝＝＝2R（外接圆直径）；
正弦定理的变式：；　a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA
sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R
4．正弦定理应用范围：
　　①已知两角和任一边，求其他两边及一角．
　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角

一解 两解 一解
(2)A为锐角或钝角
当时有一解.
也可利用正弦定理进行讨论．
如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；
如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断
典型例题：
例1、在中，求B的大小。

例2、在△ABC中，已知，，B=45° 求A、C及c.

例3、在△ABC中，a=15,b=10,A=,则cosB的值

例4、在△ABC中，，，AC=2，求△ABC的面积。

例5、在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

例6、在△ABC中，，试判断△ABC的形状

例7、在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为？

例8、在△ABC中，tanA＝，cosB＝，若最长边为1，则最短边的长

例9、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；

例10、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

例11、在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)设AC=求△ABC的面积.

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