幂函数知识点练习.doc

幂函数练习
例、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，
求f(x)的解析式．
分析　解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
解　 根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.
点评　幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，
其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．
这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．
对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．-1<n<0<m<1　　　B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1

解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．
如图，0<m<1，n<－1.

例4、已知x2>x，求x的取值范围．
错解　由于x2≥0，x∈R，则由x2>x，可得x∈R.
错因分析　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，
尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．
正解　

作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.

分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。
两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。
解：(1)(0,+∞)是递增的
　　　又∵1.1<1.4 ∴

　利用幂函数的性质比较数的大小。
例3．比较的大小。
分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。

启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。
例6、比较下列各组中两个数的大小：
　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．
解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
　　 ∵1.5＜1.7，∴＜，
　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
　　∵＝，＝，又＞，　　∴＞．

将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
【例1】(1)已知,当时,有,则的大小关系是
A. B. C. D.
【捕捉题情】(1)在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象；
(2)由添画一条直线,出现两个交点；
(3)由确认与的位置,并确认与的图象,判断的大小.

x
y
y=2
O
x2
x1
f(x)
g(x)

(1)解:在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象,
画上直线,由与知在右边的
图象为的图象,于是由的图象在轴右边的增加速
度较快,得,选C.

(2)函数的图象如图,其中为常数,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.

(2)解:的图象由的图象向左平移个单位得到,可知,
的图象与轴的交点在的下方,有,即,当
时,函数递减,于是,选A.

例1　已知函数为偶函数，且，求m的值，
并确定的解析式．
分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，
，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．
解：∵是偶函数，∴应为偶数．
又∵，即，整理，得，
∴，∴．
　　又∵，∴或1．
　　当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
故m的值为1，．
评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，
做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

例2　已知函数，设函数，
问是否存在实数，使得在区间是减函数，
且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断， 但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．
解：∵，则．
　　假设存在实数，使得满足题设条件，
　　设，则
．
若，易知，，要使在上是减函数，
则应有恒成立．
　　∵，，∴．而，
　　∴.．
　　从而要使恒成立，则有，即．
若，易知，要使在上是增函数，
则应有恒成立．
　　∵，，
　　∴，而，∴．
　　要使恒成立，则必有，即．
　综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．
评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用
判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，
但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

分类讨论的思想
例1　已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
解：因为图象与y轴无公共点，故，
又图象关于y轴对称，则为偶数，
由，得，又因为，所以．
　　 当时，不是偶数；
　　 当时，为偶数；
　　 当时，为偶数；
　　 当时，不是偶数；
　　 当时，为偶数；
　　 所以n为，1或3．

　　此时，幂函数的解析为或，其图象如图１所示．

例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．

数形结合的思想
例2　已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．
分析：由幂函数的定义，先求出与的解析式，再利用图象判断即可．
解：设，则由题意，得，
　　∴，即．再令，则由题意，得，
　　∴，即．在同一坐标系中作出
与的图象，如图2所示．由图象可知：
　　（1）当或时，；
　　（2）当时，；
（3）当且时，．
小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．

转化的数学思想
例3　函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（　　）．
　　Ａ．
　　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．
解析：要使函数的定义域是全体实数，
可转化为对一切实数都成立，即且．
解得．　故选（Ｂ）

例：已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，
且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－3)(m)＜(3－2a)－3)(m)的a的范围．

类型一：求参数的取值范围
例1 已知函数为偶函数，且，
求m的值，并确定的解析式．
分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．
解：∵是偶函数，∴应为偶数．
又∵，即，整理，得，
∴，∴．
　　又∵，∴或1．
　　当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
　　故m的值为1，．
评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，
做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

类型二：求解存在性问题
例2 已知函数，设函数，问是否存在实数，
使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？
若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．
解：∵，则．
　　假设存在实数，使得满足题设条件，
　　设，则
．
若，易知，，
要使在上是减函数，则应有恒成立．
　　∵，，∴．而，
　　∴.．
　　从而要使恒成立，则有，即．
若，易知，要使在上是增函数，
则应有恒成立．
　　∵，，
　　∴，而，∴．
　　要使恒成立，则必有，即．
综上可知，存在实数，使得在上是减函数，
且在上是增函数．
评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．
判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，
但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

例3　讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况．
分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．
解：（1）当，即或时，为常函数；
　（2）当时，或，此时函数为常函数；
　（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；
　（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；
　（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；
　（6）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．
评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，
是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，
实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，
是培养同学们数学思维能力的良好载体．
下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．
例1　若，试求实数m的取值范围．
错解（数形结合）：由图１可知
　 解得　，且．
剖析：函数虽然在区间和上分别具有单调性，
但在区间上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．
正解（分类讨论）：

　　（1）
　　解得；
　　（2）此时无解；
　　（3）， 解得．
　　综上可得．
　　现在把例1中的指数换成3看看结果如何．

例2　若，试求实数m的取值范围．
　　错解（分类讨论）：由图2知，
　　（1）1， 解得；

　　（2）此时无解；
　　（3）， 解得　．
　　综上可得　．
　剖析：很明显，此解法机械地模仿例１的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．
由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．
　正解（利用单调性）：由于函数在上单调递增，所以，解得．

例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对和两个问题与解法进行探究．

例3若，试求实数m的取值范围．
解：由图3，，解得　．

例4　若，试求实数m的取值范围．
解析：作出幂函数的图象如图4．由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．
考虑时，．于是有，即．
　　又∵幂函数在上单调递增，
　　∴， 解得，或m＞4．
　　上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．

解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：
　　（1）当，解法同例1
　　（2）当，解法同例2
　　（3）当，解法同例3
　　（4）当，解法同例4．

编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，
其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，
但它其中蕴含的这种“转化”的思想，
一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，
当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试．

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