高三复习数列知识点和经典试题的解题方法归纳(非常全).doc

数列知识点和常用的解题方法归纳

一、 等差数列的定义与性质

0的二次函数）

项，即：

二、等比数列的定义与性质

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法
2、；
3、求差（商）法

解：

， ，
［练习］

4、叠乘法

解：

5、等差型递推公式

［练习］

6、等比型递推公式

［练习］

7、倒数法
，
，
，
三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

解：

［练习］

3、错位相减法：

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

［练习］

例1设{an}是等差数列，若a2=3，a=13，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题）
略解：∵ a2 +a= a+a=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．
例2 已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243 （全国Ⅰ卷第7题）
答案：A．
例3 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186 （北京卷第7题）
略解：∵a-a=3d=9，∴ d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C．
例4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7 （广东卷第4题）
略解：∵,故选B.
例5在数列中，，，,其中为常数，则 ．（安徽卷第15题）
答案：－1．
例6 在数列中，， ，则（ ）
A． B．
C． D．（江西卷第5题）
答案：A．
例7 设数列中，，则通项 ___________．（四川卷第16题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口．
略解：∵ ∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1．
例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆卷第10题)
答案：B．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．
例9 已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1. （福建卷第20题）
略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵. bn•bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ bn·bn+2＜b．
对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：
∵ b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，∴ bn-bn+2<b2n+1.
例10 在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．（全国Ⅰ卷第19题）
略解：（Ⅰ）====1，则为等差数列，， ，．
（Ⅱ），．两式相减，得=．
对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．
例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．
例11 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且．(Ⅰ)求与； (Ⅱ)求和：．（江西卷第19题）
略解：(Ⅰ)设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或(舍去，为什么？)故．
（Ⅱ），∴ ．
“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
例12 设数列的前项和为，（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．（四川卷第21题）
略解：（Ⅰ）∵，所以．由知， 得， ①，，．
（Ⅱ）由题设和①式知，， 是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
例13 数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，， ，求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）
略解：（I）
一般地, 当时，
即
所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为
（II）由（I）知，
=
于是，.
下面证明: 当时，事实上, 当时， 即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.
数列知识点回顾
第一部分：数列的基本概念
1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项a与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列{ a}的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列{ a}的通项公式。若给出数列{ a}的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ a}的前n项和记为S，则S与a的关系是：a=。
第二部分：等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a－a(n≥2)或d = a－a (nN)．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，a－a= d (n≥2)或d = a－a都成立．一般采用的形式为：
① 当n≥2时，有a－a= d (d为常数)．
②当n时，有a－a= d (d为常数)．
③当n≥2时，有a－a= a－a成立．
若判断数列{ a}不是等差数列，只需有a－a≠a－a即可．
2．等差中项
若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{ a}、{ b}为等差数列，则{ a±b}与{ka＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n，在等差数列{ a}中有：a= a+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+ a+ a+ … = a+ a+ a+ … ．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a}中，a－a= a－a= md ．(其中m、k、)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠－1），则a=．
4．等差数列前n项和公式S=与S= na＋的比较
前n项和公式
公式适用范围
相同点
S=
用于已知等差数列的首项和末项
都是等差数列的前n项和公式
S= na＋
用于已知等差数列的首项和公差
5．等差数列前n项和公式S的基本性质
⑴数列{ a}为等差数列的充要条件是：数列{ a}的前n项和S可以写成S= an+ bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a}中，当项数为2n (nN)时，S－S= nd，=；当项数为(2n－1) (n)时，S－S= a，=．
⑶若数列{ a}为等差数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等差数列，公差为．
⑷若两个等差数列{ a}、{ b}的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=．
⑸在等差数列{ a}中，S= a，S= b (n＞m)，则S=(a－b)．
⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =x + (a－)上．
⑺记等差数列{a}的前n项和为S．①若a＞0，公差d＜0，则当a≥0且a≤0时，S最大；②若a＜0 ，公差d＞0，则当a≤0且a≥0时，S最小．
第三部分：等比数列
1．正确理解等比数列的含义
⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q = (n)或q = (n≥2)．
⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0．
⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n，= q；或= q (n≥2)都成立．
2．等比中项与等差中项的主要区别
如果G是a与b的等比中项，那么=，即G= ab，G =±．所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n，在等比数列{ a}中有：a= a· q，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a}为等比数列时，有：a．a．a．… = a．a．a．… ．．
⑷若{ a}是公比为q的等比数列，则{| a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q}、{q}、{}．
⑸如果{ a}是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列．
⑹如果{ a}是等比数列，那么对任意在n，都有a·a= a·q＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a＞0或0＜q＜1且a＜0时，等比数列为递增数列；当a＞0且0＜q＜1或a＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S的基本性质
⑴如果数列{a}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=．
⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S= S＋qS．⑵
⑷若数列{ a}为等比数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列．
二、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a}与a是不同的，前者表示数列a，a，…，a，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a，a，…，a，…，与集合{ a，a，…，a，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq， aq， a，aq，aq，…；
⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq， aq， aq，aq，…．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a≠0，因为当a= 0时，虽有a= a· a成立，但{a}不是等比数列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
数列基础知识定时练习题
（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ ）
（A）380 （B）39 （C）35 （D）23
2．在等差数列中，公差，，则的值为（ ）
（A）40 （B）45 （C）50 （D）55
3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ）
（A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
5．已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（ ）
（A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或
6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是（ ）
（A） （B） （C）≤ （D）≤3
7．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）
（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
8．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（ ）
A.40 B.42 C.43 D.45
9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.5 B.4 C. 3 D. 2
10．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
11．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ ）
A. 81 B. 27 C. D. 243
12． 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
13．设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
14．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则 ＝ （ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上）
1．在数列中，，且，则 ．
2．等比数列的前三项为，，，则
3． 若数列满足：，2，3….则　　　　　　.
4．设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.
5．在数列中，若，，则该数列的通项 。
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
1．已知为等比数列，，求的通项式。
2．设等比数列的前n项和为，
3． 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .

4．数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B
解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B 8.B
解：在等差数列中，已知∴ d=3，a5=14，=3a5=42，选B.
9.C
解：，故选C. 10. D
解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D 11.A
解：因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝
（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选A 12.C
【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，
则
即，所以，故选择答案C。 13.B
【解析】是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴ d=3，，，选B. 14. D
【解析】是等差数列的前项和，若 ∴ ，选D. 15.A
解析:由等差数列的求和公式可得且
所以,故选A
二、填空题
1. 99 2.
3. 解：数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .
4.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得
，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝
5.解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n－1
三、解答题
1.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
2.解：设的公比为q，由，所以得…①
……②由①、②式得整理得解得
所以 q＝2或q＝－2
将q＝2代入①式得，所以
将q＝－2代入①式得，所以
3.解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
附加题 解: 引入字母,转化为递归数列模型.
设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.
.
，于是
即 .
.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.
4.解：（Ⅰ）由可得，两式相减得
又 ∴
故是首项为，公比为得等比数列
∴
（Ⅱ）设的公差为
由得，可得，可得
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴

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