5函数函数的奇偶性与周期性练习题答案.doc

函数函数的奇偶性与周期性
一、函数的奇偶性
知识点归纳
1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
2奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
3为偶函数；
若奇函数的定义域包含，则“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
4判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；
若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)是否成立
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，
(2)图像法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y轴）对称.
5设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
应用举例
1、常见函数的奇偶性：
奇函数：（为常数），，，为常数）
偶函数：（为常数），时既为奇函数又为偶函数
（，（，（为常数），
非奇非偶函数：，，，，，
既奇又偶函数：
2、对奇偶性定义的理解
例1 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )
A．1　　 B．2 C．3　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，故④错误，选A．
练习：1、（2007全国Ⅰ），是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的B
A.充要条件 B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件  D.既不充分也不必要的条件
解析:∵f(x)、g(x)均为偶函数,∴f(－x)=f(x),g(－x)=g(x).∴h(－x)=f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)为偶函数.
但若h(－x)=h(x),即f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x), 不一定f(－x)=f(x),g(－x)=g(x), 例f(x)=x2+x,g(x)=－x.
2、（2007江苏）设f（x）=lg（）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是A
A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.解之,得a=－1.
∴f(x)=lg. 令f(x)＜0,则0＜＜1,∴x∈(－1,0).
3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性
例2判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
(3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ，x∈[- 4 , 4)，（5）
例3判断下列各函数的奇偶性：
（1）；（2）；
解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数
（2）由得定义域为，
∴，
∵ ∴为偶函数

练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性
解：由题

∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]

= －f ( x )
此时 f ( x ) =

故 f ( x ) 是奇函数
4、抽象函数奇偶性的判定与证明
例4（2007北京西城）已知函数对一切，都有，
（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示
解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，
令，得，令，得，∴，
∴，即， ∴是奇函数．
（2）由，及是奇函数，
得．
例5．(2006年辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C）
Ａ．是奇函数                Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数             Ｄ．是偶函数
解：据奇偶函数性质：易判定f（x）·f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数
f（x）·|f（-x）|的奇偶取决于f（x）的性质，只有f（x）+f（-x）是偶函数正确。
5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值
例6、已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求x<0时，f(x)的表达式.
解：∵f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，
∴当x<0时，f(x)＝- f(-x)＝- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|.
练习：已知是上的奇函数，且当时，，
则的解析式为
例7（2007黄冈中学月考）已知函数，求+++的值
解：由得函数的定义域是
又
成立，函数是奇函数
+=0 +=0
∴+++ =0
例8（2007海南、宁夏）设函数为奇函数，则－1
解析:∵f(x)=, ∴f (－x)=－
又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x).
∴=.∴ ∴a=－1.
 练习：已知是偶函数，定义域为，则，b=0
解： ，
6、偶函数性质的应用
偶函数图象关于y轴对称，运用可将偶函数问题转化至的范围解决。
例9、设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2] 上单调递减，若，求实数的取值范围。
解：

又当时，是减函数

练习：已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ）

二、函数的周期性
知识点归纳
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期 一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集
常见函数周期:
①y=sinx，最小正周期T＝2π； ②y=cosx，最小正周期T＝2π； ③y=tanx，最小正周期T＝π； ④y=cotx，最小正周期T＝π.
周期函数变换后的周期
周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为T/|ω|.
例10 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝－f(x)
所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
练习：1 、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x-m),求证:2m是f(x)的一个周期
证明：因为f(x＋m)＝f(x-m) 所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝f[(x＋m)-m]＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
以上两题可作为结论记，注意f(x＋m)＝f(x-m)与f(m ＋x)＝f(m-x)的区别，
f(m ＋x)＝f(m-x)是f(x)图像的对称轴

2、已知函数f(x)对任意实数x,都有 ，求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：由已知

f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]

所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
3、设偶函数对任意，都有，且当时，,则的值为(D)
A. B. C. D.
解：

三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用
例11 已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 (－∞ , 0 ) 上是增函数，问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ∞ ) 上是增函数还是减函数？
解：设 0 ＜ x 1 ＜x 2 ＜ + ∞则 － ∞ ＜ －x 2 ＜－x 1 ＜ 0
∵ f ( x ) 在 (－∞ , 0 ) 上是增函数 ∴ f (－x 2 ) ＜ f ( －x 1 )
∵ f ( x ) 是偶函数 ∴ f ( x 2 ) ＜ f ( x 1 ) 故 f ( x ) 在( 0 ，+ ∞ ) 上是减函数
知识点：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上对称性相同
例12 函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集
解：
又函数是奇函数，它在对称区间上的单调性相同且

例13、已知是周期为4的偶函数，当时，，求，
解：，

例14、（2005福建）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是  D

A．2 B．3  C．4  D．5
解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0.
又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0.
∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为5.
练习：1、（2007重庆）已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则D
A.f(6)＞f(7)               B.f(6)＞f(9)              C.f(7)＞f(9)          D.f(7)＞f(10)
解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.
又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).
2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为B
(A)-1      (B)0         (C)1          (D)2
解析：∵f（x+2）=-f（x）.∴f（6）=f（4+2）=-f（4）=f（2）=-f（2）.
又-f（x）为R上的奇函数，∴f（2）=0 ∴f（6）=0.
3、（2005重庆）若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是                    （  D）
    A．            B．    C．     D．（－2，2）
解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.
又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减.
∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.
由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0.
∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.
4、（2005全国Ⅳ）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5）等于（ C）
A.0                       B.1                           C.          　   D.5
解：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=

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