平面向量共线专题.doc

向量的共线定理
一、知识点
1、如果，则称

2、一般地对于两个向量，有如下的向量共线定理
如果有一个实数，使 ， 那么 ；
反之，如果 ，那么 .

二、练习
1、设两非零向量，不共线，且，求实数k的值。

2、设两非零且不共线向量，实数满足 ，试讨论的取值.

平面向量的基本定理
一、知识点
1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。
2.一个平面向量用一组基底,表示成的形式，我们称它为向量的___________,当,所在直线___________________,这种分解也称为向量的________________.

二、练习
1. 设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，
不能作为基底的是（ ）

A. +和- B. 2-3和4-6
C. +2和2+ D. +和
2．已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（　　）
Ａ．（ － ）　　　Ｂ．　－（ － ）
Ｃ．－（ ＋）　　　Ｄ．（ ＋）

3. 已知不共线， =+，=4 +2，并且，共线，则下列各式正确的是（ ）
A. =1， B. =2， C. =3， D. =4
4、已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为　　　　　。

5．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，＝，＝，则＝（　　）
Ａ．（ － ）　　　Ｂ．　－（ － ）
Ｃ．＋　　 　Ｄ．（ ＋）
6．如果３+４＝，２+３＝，其中，为已知向量，
则＝　　 　，＝　　　　　　　.

7．当ｋ为何值时，向量＝４+２，＝ｋ＋共线，其中、是同一平面内两个不共线的向量。

8.若向量的一种正交分解是=+，且=2，则.
平面向量的坐标运算（1）
一、知识点
1、两个向量和差的坐标运算
已知：，为一实数
则=______________________；
即=_____________________________。
同理将=_____________这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于______________________。
2、数乘向量和坐示运算
=__________________ 即=______________________
这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。
3、向量的坐标表示
若已知,，则=_______________________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。

4、线段定比分点坐标公式

二、练习
1、设则=_________________
2、若点A（-2，1），B（1，3），则=___________________________
3知则=（ ）
A．（6，-2） B．（5，0） C．（-5，0） D．（0，5）

4、求证：设线段AB两端点的坐标分别为，，则其中点M（x,y）的坐标公式是：。

平面向量的坐标运算（2）
一、知识点
1、两向量平行（共线）的条件
若则存在唯一实数使；
反之，存在唯一实数，使，则
2、两向量平行（共线）的坐标表示
设，其中则等价于______________________。

二、练习
1、已知，且，则x=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2、已知且与共线，则x=( )
A．-6 B．6 C．3 D．-3
3、已知与平行且方向相反的向量的是（ ）
A． B． C． D．
4、已知，且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（ ）
A． B． C． D．(-9，-1)
5、平面内给定三个向量
（1）求
（2）求满足的实数;
（3）若//，求实数.

6、已知△ABC三个顶点ABC的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求△ABC的重心G的坐标．
向量的数量积（1）
一、知识点
1._____________________________ __________叫做的夹角。
2.已知两个______向量，我们把_________叫的数量积。（或________）记作______ _____即＝______________________其中是的夹角。______________________叫做向量方向上的___________。
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
4.平面向量数量积的性质：设均为非零向量：
①___________
②当同向时，＝ 　当反向时，＝_____ __，
特别地，= 或= 。
③
5. 的几何意义：______________________________。
的几何意义：
6.向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。
①＝___________（______律）
②＝___________= = ③＝_________ _

二、练习
1.已知的夹角为120º，则___________。
2.已知＝12，且，则夹角的余弦值为________
3.已知中，，则这三角形的形状为______ _____
4.垂直，则＝___ ________。
5.，则与的夹角为 。
6.已知是单位向量，它们之间夹角是45º，
则在方向上的投影为_____ ___， 在方向上的投影为 。
7.边长为的等边三角形ABC中，设
则 。
8.有下面四个关系式①0.＝0；②③④，
其中正确的有 个。　　　　　
9.则的夹角为120º，则的值为 。
10. 中，<0，则为 三角形。

11.已知向量满足求

12.设是两个垂直的单位向量，且
（１）若求的值。（２）若的值。

向量的数量积（2）
一、知识点
1.　平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量　　　 　 　（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于　　　　　　　 　　　。
如：设=(5,-7),b=(-6,-4),求= 。
2.平面内两点间的距离公式
①设则________________或=________________。
②如果有向线段的起点为和终点，则=_____________
3.向量垂直的判定设则_____________ ____
如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤≤）
　＝___________________(向量表示)＝__________________(坐标表示)　
如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,则与的夹角为_______。

二、练习
1.已知则 。
2.已知则夹角的余弦为 。
3.则___ _。
4.已知则__________。
5．已知，，则 。
6.
则____ _，______ _ 。
7.与垂直的单位向量是____ ___ ，平行的单位向量为 。
8.则方向上的投影为_____ ____。
9. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且则的夹角为_____ 。
10.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为 三角形。
11.已知_______（其中为两个相互垂直的单位向量）
12.若与　　　　　 互相垂直，则m的值为 。
13、求①与
②与垂直，且大小的向量。

14.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标。

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