指数函数专题讲义含答案.doc

既然选择了远方，便只顾风雨兼程
第一期思维训练班数学讲义（六）
指数函数专题

题型一：指数运算
例一．（1）化简(a, b为正数)的结果是_______________.
（2） =_____________.
题型二：指数函数定义域、值域
例二．（1）函数的定义域为R，求实数的取值范围.
（2）函数的值域为，求实数的取值范围.

题型三：指数函数单调性
例三．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　) .
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
题型四：判断奇偶性
例四．判断函数的奇偶性.

题型五：解指数方程、不等式
例五．（1）解方程．
（2）解不等式.

题型六：不等式恒成立问题
例六．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值范围．

强化训练
1．函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
2. 不论a为何值时，函数恒过定点，则这个定点的坐标是 (　 　)．
A. B.
C. D.
3. 若，那么的值为（　 　）．

A．
1
B．
2
C．
5
D．
1或5
4. 若关于的方程有解，则的范围是（　 　）．

A．

B．

C．

D．

5. 函数的图象的大致形状是(　 　) ．

6.若关于x的方程有两个不等实根，则a的取值范围是(　　) ．
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，)
7. 若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（ ）．
A． B． C． D．
8. 设，则(　　)．
A． B． C． D．
9.函数是指数函数，则__________ ．
10.函数在区间上的值域是__________ ．
11.函数在区间上有最大值14，则的值是__________ ．
12.若函数的定义域和值域都是，则实数a的值为________．
13.已知，且，求的值．

14.已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明：.

15.已知．
(1)判断的奇偶性；
(2)讨论的单调性；
(3)当恒成立，求的取值范围．

16. 已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)若对任意t∈R，不等式恒成立，求的取值范围．

指数函数参考答案 命题：焦雷
例题一:(1) ．
(2)100．
例题二：（1）．
（2）．
例题三：答案:D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知，解得4≤a<8.
例题四：奇函数．
例题五：（1）．（2）．
例题六：解：由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－在x∈(－∞，1]上恒成立．
又因为－＝－()2x－()x，
设t＝()x，
∵x≤1，∴t≥
且函数f(t)＝－t2－t＝－(t＋)2＋(t≥)
在t＝时，取到最大值．
∴()x＝即x＝1时，－的最大值为－，
∴a>－．
强化训练
1-5 DCDAD 6-8 DDC．
9.答案：2.
10.答案：．
11. 3或．解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
　　∴当时，∵，
　　∴，即．
　　∴当时，．
　　解得或（舍去）；
　　当时，∵，
　　∴，即，
　　∴ 时，，
　　解得或（舍去），∴a的值是3或．
12. 答案：．
13. 答案：．解：由题意设0＜x＜y
∵xy=9，∴
∴x+y﹣2==12﹣6=6
x+y+2==12+6=18
∴=，=
∴=．
14. (1)解　由2x－1≠0⇒x≠0，
所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)证明　f(x)＝(＋)x3可化为f(x)＝·x3，
则f(－x)＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．f(x)为偶函数．

(3)证明　当x>0时，2x>1，x3>0，
所以(＋)x3>0.
因为f(－x)＝f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.
综上所述，f(x)>0.
15. 解　(1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，
所以f(x)为增函数．
当0<a<1时，a2－1<0，
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，
所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.

16. 解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1
从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知
＝－，
解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1．
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－．

7