2023版大一轮数学人教A版-第七章-§7-5-空间直线、平面的垂直.pptx

,第,七,章,7.5,空间直线、平面的垂直,考试,要求,1.,理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系,.,2.,掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用,.,落实主干知识,探究核心题型,内容,索引,课时精练,LUOSHIZHUGANZHISHI,落实主干知识,1.,直线与平面垂直,(1),直线和平面垂直的定义,如果直线,l,与平面,内,的,直线,都垂直，就说直线,l,与平面,互相垂直,.,任意一条,(2),判定定理与性质定理,文字语言,图形表示,符号表示,判定定理,如果一条直线与一个平面内,的,垂直,，那么该直线与此平面垂直,l,性质定理,垂直于同一个平面的两条直线平行,a,b,两条相交直线,_,_,m,n,P,_,_,m,n,l,m,l,n,_,_,a,b,2.,直线和平面所成的角,(1),定义：平面的一条斜线和它在平面上,的,所,成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角,是,；,一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是,0.,(2),范围,：,_,.,射影,90,3.,二面角,(1),定义：从一条直线出发,的,所,组成的图形叫做二面角,；,两个半平面,(2),二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别,作,的,两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角,.,(3),二面角的范围：,0,，,.,垂直于棱,4.,平面与平面垂直,(1),平面与平面垂直的定义,两个平面相交，如果它们所成的二面角,是,，,就说这两个平面互相垂直,.,直二面角,(2),判定定理与性质定理,文字语言,图形表示,符号表示,判定定理,如果一个平面过另一个平面,的,，,那么这两个平面垂直,性质定理,两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面,的,，,那么这条直线与另一个平面垂直,l,_,_,a,a,垂线,交线,_,_,_,_,a,l,a,l,1.,三垂线定理,在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直,.,2.,三垂线定理的逆定理,平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直,.,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),直线,l,与平面,内的无数条直线都垂直，则,l,.(,),(2),垂直于同一个平面的两平面平行,.(,),(3),若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面,.,(,),(4),若直线,a,平面,，直线,b,平面,，则直线,a,直线,b,.(,),1.(,多选,),若平面,平面,，且,l,，则下列命题中正确的是,A.,平面,内的直线必垂直于平面,内的任意一条直线,B.,平面,内的已知直线必垂直于平面,内的无数条直线,C.,平面,内的任一条直线必垂直于平面,D.,过平面,内任意一点作交线,l,的垂线，则此垂线必垂直于平面,A,项，如图,，,a,，,b,，且,a,，,b,与,l,都不垂直，则,a,，,b,不一定垂直，故,A,错；,B,项，如图,，,a,，作,b,l,，则,b,，则,内所有与,b,平行的直线都与,a,垂直，故,B,正确,；,C,项，如图,，,a,，但,a,与,l,不垂直，则,a,与,不垂直，故,C,错；,D,项，如图,，由两平面垂直的性质定理可知,D,正确,.,2,.,“,直线,a,与平面,内的无数条直线都垂直,”,是,“,直线,a,与平面,垂直,”,的,_,条件,.,必要不充分,3.,在三棱锥,P,ABC,中，点,P,在平面,ABC,上的射影为点,O,.,(1),若,PA,PB,PC,，则点,O,是,ABC,的,_,心；,如图,1,，连接,OA,，,OB,，,OC,，,OP,，,在,Rt,POA,，,Rt,POB,和,Rt,POC,中，,PA,PC,PB,，,OA,OB,OC,，,即,O,为,ABC,的外心,.,外,图,1,(2),若,PA,PB,，,PB,PC,，,PC,PA,，则点,O,是,ABC,的,_,心,.,垂,如图,2,，延长,AO,，,BO,，,CO,分别交,BC,，,AC,，,AB,于点,H,，,D,，,G,.,PC,PA,，,PB,PC,，,PA,PB,P,，,PA,，,PB,平面,PAB,，,PC,平面,PAB,，又,AB,平面,PAB,，,PC,AB,，,AB,PO,，,PO,PC,P,，,PO,，,PC,平面,PGC,，,AB,平面,PGC,，又,CG,平面,PGC,，,AB,CG,，即,CG,为,ABC,边,AB,上的高,.,同理可证,BD,，,AH,分别为,ABC,边,AC,，,BC,上的高，即,O,为,ABC,的垂心,.,图,2,TANJIUHEXINTIXING,探究核心题型,例,1,(2021,全国甲卷,),已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧面,AA,1,B,1,B,为正方形，,AB,BC,2,，,E,，,F,分别为,AC,和,CC,1,的中点，,BF,A,1,B,1,.,(1),求三棱锥,F,EBC,的体积,；,题型一,直线与平面垂直的判定与性质,如图，取,BC,的中点为,M,，连接,EM,，由已知可得,EM,AB,，,AB,BC,2,，,AB,A,1,B,1,，,由,BF,A,1,B,1,得,EM,BF,，,又,EM,CF,，,BF,CF,F,，,所以,EM,平面,BCF,，,(2),已知,D,为棱,A,1,B,1,上的点，证明：,BF,DE,.,连接,A,1,E,，,B,1,M,，,由,(1),知,EM,A,1,B,1,，,所以,ED,在平面,EMB,1,A,1,内,.,在正方形,CC,1,B,1,B,中，由于,F,，,M,分别是,CC,1,，,BC,的中点，,所以由平面几何知识可得,BF,B,1,M,，,又,BF,A,1,B,1,，,B,1,M,A,1,B,1,B,1,，,所以,BF,平面,EMB,1,A,1,，,又,DE,平面,EMB,1,A,1,，所以,BF,DE,.,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，四边形,ABCD,是矩形，,AB,平面,PAD,，,AD,AP,，,E,是,PD,的中点，,M,，,N,分别在,AB,，,PC,上，且,MN,AB,，,MN,PC,.,证明：,AE,MN,.,教师备选,AB,平面,PAD,，,AE,平面,PAD,，,AE,AB,，,又,AB,CD,，,AE,CD,.,AD,AP,，,E,是,PD,的中点，,AE,PD,.,又,CD,PD,D,，,CD,，,PD,平面,PCD,，,AE,平面,PCD,.,MN,AB,，,AB,CD,，,MN,CD,.,又,MN,PC,，,PC,CD,C,，,PC,，,CD,平面,PCD,，,MN,平面,PCD,，,AE,MN,.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键,(1),证明直线和平面垂直的常用方法：,判定定理；,垂直于平面的传递性,(,a,b,，,a,b,),；,面面平行的性质,(,a,，,a,),；,面面垂直的性质,.,(2),证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质,.,跟踪训练,1,如图所示，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AB,AD,，,AC,CD,，,ABC,60,，,PA,AB,BC,，,E,是,PC,的中点，证明,：,(1),CD,AE,；,在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,CD,平面,ABCD,，,PA,CD,，,AC,CD,，,PA,AC,A,，,PA,，,AC,平面,PAC,，,CD,平面,PAC,.,而,AE,平面,PAC,，,CD,AE,.,(2),PD,平面,ABE,.,由,PA,AB,BC,，,ABC,60,，,可得,AC,PA,.,E,是,PC,的中点，,AE,PC,.,由,(1),知,AE,CD,，且,PC,CD,C,，,PC,，,CD,平面,PCD,，,AE,平面,PCD,.,而,PD,平面,PCD,，,AE,PD,.,PA,底面,ABCD,，,PA,AB,.,又,AB,AD,且,PA,AD,A,，,PA,，,AD,平面,PAD,，,AB,平面,PAD,，而,PD,平面,PAD,，,AB,PD,.,又,AB,AE,A,，,AB,，,AE,平面,ABE,，,PD,平面,ABE,.,例,2,(2021,全国乙卷,),如图，四棱锥,P,ABCD,的底面是矩形，,PD,底面,ABCD,，,M,为,BC,的中点，且,PB,AM,.,(1),证明：平面,PAM,平面,PBD,；,题型,二,平面与平面垂直的判定与性质,PD,平面,ABCD,，,AM,平面,ABCD,，,PD,AM,.,PB,AM,，且,PB,PD,P,，,PB,平面,PBD,，,PD,平面,PBD,，,AM,平面,PBD,.,又,AM,平面,PAM,，,平面,PAM,平面,PBD,.,(2),若,PD,DC,1,，求四棱锥,P,ABCD,的体积,.,由题意知,AB,DC,1.,AM,平面,PBD,，,BD,平面,PBD,，,AM,BD,，,由,BAM,MAD,90,，,MAD,ADB,90,，,得,BAM,ADB,，,则四棱锥,P,ABCD,的,体积,(2020,全国,),如图，,D,为圆锥的顶点，,O,是圆锥底面的圆心，,ABC,是底面的内接正三角形，,P,为,DO,上一点，,APC,90.,(1),证明：平面,PAB,平面,PAC,；,教师备选,D,为圆锥顶点，,O,为底面圆心，,OD,平面,ABC,，,P,在,DO,上，,OA,OB,OC,，,PA,PB,PC,，,ABC,是圆内接正三角形，,AC,BC,，,PAC,PBC,，,APC,BPC,90,，,即,PB,PC,，,PA,PC,，,PA,PB,P,，,PC,平面,PAB,，,PC,平面,PAC,，,平面,PAB,平面,PAC,.,设圆锥的母线为,l,，底面半径为,r,，,OD,2,l,2,r,2,2,，解得,r,1,，,在等腰直角三角形,APC,中，,在,Rt,PAO,中，,思维升华,(1),判定面面垂直的方法,面面垂直的定义,.,面面垂直的判定定理,.,(2),面面垂直性质的应用,面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意,“,平面内的直线,”.,若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面,.,跟踪训练,2,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,为矩形，平面,PAD,平面,ABCD,，,PA,PD,，,PA,PD,，,E,为,AD,的中点,.,(1),求证：,PE,BC,；,因为,PA,PD,，,E,为,AD,的中点，,所以,PE,AD,.,因为底面,ABCD,为矩形，所以,BC,AD,.,所以,PE,BC,.,(2),求证：平面,PAB,平面,PCD,.,因为底面,ABCD,为矩形，,所以,AB,AD,.,又因为平面,PAD,平面,ABCD,，平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,AB,平面,ABCD,，,所以,AB,平面,PAD,.,又,PD,平面,PAD,，所以,AB,PD,.,又因为,PA,PD,，且,PA,AB,A,，,PA,，,AB,平面,PAB,，,所以,PD,平面,PAB,.,又,PD,平面,PCD,，,所以平面,PAB,平面,PCD,.,例,3,如图，已知,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是底面为正方形的长方体，,AD,1,A,1,60,，,AD,1,4,，点,P,是,AD,1,上的动点,.,题型三,垂直关系的综合应用,(1),试判断不论点,P,在,AD,1,上的任何位置，是否都有平面,BPA,平面,AA,1,D,1,D,，并证明你的结论；,BA,平面,AA,1,D,1,D,，,BA,平面,BPA,，,平面,BPA,平面,AA,1,D,1,D,，,与,P,点位置无关,.,(2),当,P,为,AD,1,的中点时，求异面直线,AA,1,与,B,1,P,所成的角的余弦值；,过点,P,作,PE,A,1,D,1,，垂足为,E,，连接,B,1,E,(,如图,),，则,PE,AA,1,，,B,1,PE,或其补角是异面直线,AA,1,与,B,1,P,所成的角,.,在,Rt,AA,1,D,1,中，,AD,1,A,1,60,，,A,1,AD,1,30,，,在,Rt,B,1,PE,中，,(3),求,PB,1,与平面,AA,1,D,1,所成角的正切值的最大值,.,由,(1),知，,B,1,A,1,平面,AA,1,D,1,，,B,1,PA,1,是,PB,1,与平面,AA,1,D,1,所成的角，,当,A,1,P,最小时，,tan,B,1,PA,1,最大，,这时,A,1,P,AD,1,，,如图，在四棱锥,S,ABCD,中，四边形,ABCD,是边长为,2,的菱形，,ABC,60,，,SAD,为正三角形,.,侧面,SAD,底面,ABCD,，,E,，,F,分别为棱,AD,，,SB,的中点,.,(1),求证：,AF,平面,SEC,；,教师备选,如图，取,SC,的中点,G,，连接,FG,，,EG,，,F,，,G,分别是,SB,，,SC,的中点,，,四边形,ABCD,是菱形，,E,是,AD,的中点，,FG,AE,，,FG,AE,，,四边形,AFGE,是平行四边形，,AF,EG,，又,AF,平面,SEC,，,EG,平面,SEC,，,AF,平面,SEC,.,(2),求证：平面,ASB,平面,CSB,；,SAD,是等边三角形，,E,是,AD,的中点，,SE,AD,，,四边形,ABCD,是菱形，,ABC,60,，,ACD,是等边三角形，又,E,是,AD,的中点，,AD,CE,，又,SE,CE,E,，,SE,，,CE,平面,SEC,，,AD,平面,SEC,，又,EG,平面,SEC,，,AD,EG,，又四边形,AFGE,是平行四边形，,四边形,AFGE,是矩形，,AF,FG,，,又,SA,AB,，,F,是,SB,的中点，,AF,SB,，,又,FG,SB,F,，,FG,平面,SBC,，,SB,平面,SBC,，,AF,平面,SBC,，又,AF,平面,ASB,，,平面,ASB,平面,CSB,.,存在点,M,满足题意,.,假设在棱,SB,上存在点,M,，使得,BD,平面,MAC,，,连接,MO,，,BE,，则,BD,OM,，,四边形,ABCD,是边长为,2,的菱形，,ABC,60,，,SAD,为正三角形，,侧面,SAD,底面,ABCD,，,侧面,SAD,底面,ABCD,AD,，,SE,平面,SAD,，,SE,平面,ABCD,，,SE,BE,，,思维升华,(1),三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化,.,(2),对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在,该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,.,跟踪训练,3,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,为四边形，,ABD,是边长为,2,的正三角形，,BC,CD,，,BC,CD,，,PD,AB,，平面,PBD,平面,ABCD,.,(1),求证：,PD,平面,ABCD,；,如图所示，,E,为,BD,的中点，连接,AE,，,ABD,是正三角形，,则,AE,BD,.,平面,PBD,平面,ABCD,，平面,PBD,平面,ABCD,BD,，,AE,平面,ABCD,，,故,AE,平面,PBD,，,PD,平面,PBD,，,故,AE,PD,.,PD,AB,，,AE,AB,A,，,AE,，,AB,平面,ABCD,，,故,PD,平面,ABCD,.,过点,E,作,EF,PB,于点,F,，连接,CF,，,CE,，,因为,BC,CD,，,BC,CD,，,E,为,BD,的中点，,所以,EC,BD,，,所以,EC,平面,PBD,.,又,PB,平面,PBD,，所以,EC,PB,，,又,EC,EF,E,，,EC,，,EF,平面,EFC,，,所以,PB,平面,EFC,，,又因为,CF,平面,EFC,，,所以,CF,PB,，,故,EFC,为二面角,C,PB,D,的平面角,.,KESHIJINGLIAN,课时精练,1.(2020,新高考全国,),日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间,.,把地球看成一个球,(,球心记为,O,),，地球上一点,A,的纬度是指,OA,与地球赤道所在平面所成角，点,A,处的水平面是指过点,A,且与,OA,垂直的平面,.,在点,A,处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点,A,处的纬度为北纬,40,，则晷针与点,A,处的水平面所成角为,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.20,B.40,C.50,D.90,如图所示，,O,为赤道平面，,O,1,为,A,点处的日晷面所在的平面，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由点,A,处的纬度为北纬,40,可知,OAO,1,40,，,又点,A,处的水平面与,OA,垂直，晷针,AC,与,O,1,所在的面垂直，,则晷针,AC,与水平面所成角为,40.,2.,已知,m,，,l,是两条不同的直线，,，,是两个不同的平面，则下列可以推出,的是,A.,m,l,，,m,，,l,B.,m,l,，,l,，,m,C.,m,l,，,m,，,l,D.,l,，,m,l,，,m,对于,A,，有可能出现,，,平行这种情况，故,A,错误,；,对于,B,，会出现,平面,，,相交但不垂直的情况，故,B,错误,；,对于,C,，,m,l,，,m,，,l,，故,C,错误,；,对于,D,，,l,，,m,l,m,，又由,m,，故,D,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.,如图，在斜三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,BAC,90,，,BC,1,AC,，则,C,1,在底面,ABC,上的射影,H,必,在,A.,直线,AB,上,B,.,直线,BC,上,C.,直线,AC,上,D,.,ABC,内部,由,AC,AB,，,AC,BC,1,，,AB,BC,1,B,，,AB,，,BC,1,平面,ABC,1,，得,AC,平面,ABC,1,.,因为,AC,平面,ABC,，,所以平面,ABC,1,平面,ABC,.,所以,C,1,在平面,ABC,上的射影,H,必在两平面的交线,AB,上,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.,如图，,PA,圆,O,所在平面，,AB,是圆,O,的直径，,C,是圆周上一点，其中,AC,3,，,PA,4,，,BC,5,，则,PB,与平面,PAC,所成角的正弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据题意，,AB,是圆,O,的直径，,C,是圆周上一点，则,BC,AC,，,又由,PA,圆,O,所在平面，则,PA,BC,，,因为,PA,AC,A,，,PA,，,AC,平面,PAC,，,则,BC,平面,PAC,，故,BPC,是,PB,与平面,PAC,所成的角，在,ACB,中，,AC,3,，,BC,5,，,AC,BC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.,(,多选,)(2022,武汉调研,),如图，,AC,2,R,为圆,O,的直径，,PCA,45,，,PA,垂直于圆,O,所在的平面，,B,为圆周上不与点,A,，,C,重合的点，,AS,PC,于,S,，,AN,PB,于,N,，则下列结论正确的,是,A.,平面,ANS,平面,PBC,B.,平面,ANS,平面,PAB,C.,平面,PAB,平面,PBC,D.,平面,ABC,平面,PAC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PA,平面,ABC,，,PA,平面,PAC,，,平面,ABC,平面,PAC,，,D,正确；,BC,平面,ABC,，,PA,BC,，,又,AC,为圆,O,的直径，,B,为圆周上不与点,A,，,C,重合的点，,AB,BC,，,又,PA,AB,A,，,PA,，,AB,平面,PAB,，,BC,平面,PAB,，又,BC,平面,PBC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,平面,PAB,平面,PBC,，,C,正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,AN,平面,PAB,，,BC,AN,，,又,AN,PB,，,BC,PB,B,，,BC,，,PB,平面,PBC,，,AN,平面,PBC,，,又,PC,平面,PBC,，,AN,PC,，,又,PC,AS,，,AS,AN,A,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AS,，,AN,平面,ANS,，,PC,平面,ANS,，,又,PC,平面,PBC,，,平面,ANS,平面,PBC,，,A,正确,.,6.,(,多选,)(2021,新高考全国,),如图，在正方体中，,O,为底面的中心，,P,为所在棱的中点，,M,，,N,为正方体的顶点,.,则满足,MN,OP,的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设正方体的棱长为,2,，,对于,A,，如图,(1),所示，连接,AC,，则,MN,AC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,图,(1),故,POC,(,或其补角,),为异面直线,OP,，,MN,所成的角，,故,MN,OP,不成立，故,A,错误,.,对于,B,，如图,(2),所示，取,AN,的中点,B,，连接,PB,，,OB,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,图,(2),所以,OP,2,PB,2,OB,2,，所以,OP,PB,，,又,PB,MN,，所以,OP,MN,.,对于,C,，如图,(3),所示，取,AD,的中点,C,，连接,OC,，,PC,，,BD,，因为,P,，,C,分别是,DE,，,AD,的中点，所以,CP,BD,，又,OC,平面,ADEB,，,BD,平面,ADEB,，,图,(3),所以,OC,BD,，又,OC,CP,C,，,OC,，,CP,平面,OCP,，所以,BD,平面,OCP,，所以,BD,OP,，又,BD,MN,，所以,OP,MN,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,D,，如图,(4),所示，取,AN,的中点,B,，,ME,的中点,F,，连接,PB,，,BF,，,OF,，,若,OP,MN,，又,OF,平面,MENA,，所以,OF,MN,，所以,MN,平面,OFBP,，,图,(4),所以,MN,BF,，显然，,MN,与,BF,不可能垂直，所以,OP,MN,不成立,.,7,.,已知,ABC,在平面,内，,A,90,，,DA,平面,，则直线,CA,与,DB,的位置关系是,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,垂直,DA,平面,，,CA,平面,，,DA,CA,，,在,ABC,中，,A,90,，,AB,CA,，,且,DA,BA,A,，,DA,，,BA,平面,DAB,，,CA,平面,DAB,，又,DB,平面,DAB,，,CA,DB,.,8.,如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，已知,AA,1,平面,ABC,，,BC,CC,1,，当底面,A,1,B,1,C,1,满足条件,_,_,_,时，有,AB,1,BC,1,.(,注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A,1,C,1,B,1,C,1,当底面,A,1,B,1,C,1,满足条件,A,1,C,1,B,1,C,1,时，,有,AB,1,BC,1,.,理由如下：,AA,1,平面,ABC,，,BC,CC,1,，,四边形,BCC,1,B,1,是正方形，,BC,1,B,1,C,，,CC,1,AA,1,，,A,1,C,1,CC,1,.,又,A,1,C,1,B,1,C,1,，,CC,1,B,1,C,1,C,1,，,CC,1,，,B,1,C,1,平面,BCC,1,B,1,，,A,1,C,1,平面,BCC,1,B,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AC,A,1,C,1,，,AC,平面,BCC,1,B,1,，,BC,1,平面,BCC,1,B,1,，,BC,1,AC,，,AC,B,1,C,C,，,AC,，,B,1,C,平面,ACB,1,，,BC,1,平面,ACB,1,，,又,AB,1,平面,ACB,1,，,AB,1,BC,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.,如图所示，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,AD,AB,，,BCD,45,，,BAD,90.,将,ABD,沿对角线,BD,折起，记折起后,A,的位置为点,P,，且使平面,PBD,平面,BCD,.,求证,：,(1),CD,平面,PBD,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在四边形,ABCD,中，,AD,AB,，,BAD,90,，,则,ABD,ADB,45,，,又,AD,BC,，即有,DBC,45,，,而,DCB,45,，于是得,BDC,90,，,在折后的几何体,P,BCD,中，,BD,DC,，,因为平面,PBD,平面,BCD,，平面,PBD,平面,BCD,BD,，,CD,平面,BCD,，,所以,CD,平面,PBD,.,(2),平面,PBC,平面,PDC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由,(1),知,CD,平面,PBD,，,PB,平面,PBD,，,于是得,CD,BP,，,又,BP,PD,，,PD,CD,D,，,PD,平面,PDC,，,CD,平面,PDC,，,则,BP,平面,PDC,，又,BP,平面,PBC,，,所以平面,PBC,平面,PDC,.,10.,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是边长为,2,的菱形，,BAD,60,，侧面,PAD,为等边三角形,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1),求证：,AD,PB,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为,PAD,为等边三角形，,O,是,AD,的中点，所以,OP,AD,，,因为底面,ABCD,是菱形，,BAD,60,，,所以,ABD,是等边三角形，,OB,AD,，,因为,OP,OB,O,，,OP,，,OB,平面,POB,，,所以,AD,平面,POB,，,因为,PB,平面,POB,，所以,AD,PB,.,如图，取,AD,的中点,O,，连接,OB,，,OP,，,BD,，,(2),若平面,PAD,平面,ABCD,，点,E,为,PB,的中点，求三棱锥,P,ADE,的体积,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为底面,ABCD,是边长为,2,的菱形，,PAD,为等边三角形，,因为平面,PAD,平面,ABCD,，平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,AD,，,所以,PO,平面,ABCD,，,因为,E,为,PB,的中点，,11,.(,多选,)(2022,广州调研,),如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,AB,4,，,BC,2,，,M,，,N,分别为棱,C,1,D,1,，,CC,1,的中点，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,A.,A,，,M,，,N,，,B,四点共面,B.,平面,ADM,平面,CDD,1,C,1,C.,直线,BN,与,B,1,M,所成的角为,60,D.,BN,平面,ADM,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图所示，对于,A,，直线,AM,，,BN,是异面直线，故,A,，,M,，,N,，,B,四点不共面，故,A,错误；,对于,B,，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，可得,AD,平面,CDD,1,C,1,，,AD,平面,ADM,，,所以平面,ADM,平面,CDD,1,C,1,，故,B,正确；,对于,C,，取,CD,的中点,O,，连接,BO,，,ON,，则,B,1,M,BO,，,所以直线,BN,与,B,1,M,所成的角为,NBO,或其补角,.,易知,BON,为等边三角形，,所以,NBO,60,，故,C,正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于,D,，因为,BN,平面,AA,1,D,1,D,，显然,BN,与平面,ADM,不平行，故,D,错误,.,12.(,多选,)(2022,玉溪模拟,),如图，四棱锥,P,ABCD,的底面为矩形，,PD,底面,ABCD,，,AD,1,，,PD,AB,2,，点,E,是,PB,的中点，过,A,，,D,，,E,三点的平面,与平面,PBC,的交线为,l,，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.,l,平面,PAD,B.,AE,平面,PCD,C.,直线,PA,与,l,所成角的余弦值为,D.,平面,截四棱锥,P,ABCD,所得的上、下两部分几何体的体积之比为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，取,PC,的中点,F,，连接,EF,，,DF,，,则,AD,EF,，即,A,，,D,，,E,，,F,四点共面，即,l,为,EF,，,对于,A,，,EF,AD,，,所以,EF,平面,PAD,，即,l,平面,PAD,，故,A,正确；,对于,B,，由,EF,AD,，若,AE,平面,PCD,，则必有,AE,DF,，,即四边形,ADFE,为平行四边形，,则,AD,EF,，矛盾，故,B,错误；,对于,C,，,PA,与,l,所成的角，即,PA,与,EF,所成的角，即,PA,与,AD,所成的角，,由,PD,底面,ABCD,，所以,PD,AD,，,对于,D,，连接,BD,，,V,ABCDEF,V,A,BDE,V,D,BCFE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2,022,威海模拟,),如图，在四棱锥,S,ABCD,中，底面四边形,ABCD,为矩形，,SA,平面,ABCD,，,P,，,Q,分别是线段,BS,，,AD,的中点，点,R,在线段,SD,上,.,若,AS,4,，,AD,2,，,AR,PQ,，则,AR,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，取,SA,的中点,E,，连接,PE,，,QE,.,SA,平面,ABCD,，,AB,平面,ABCD,，,SA,AB,，,而,AB,AD,，,AD,SA,A,，,AD,，,SA,平面,SAD,，,AB,平面,SAD,，故,PE,平面,SAD,，,又,AR,平面,SAD,，,PE,AR,.,又,AR,PQ,，,PE,PQ,P,，,PE,，,PQ,平面,PEQ,，,AR,平面,PEQ,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,EQ,平面,PEQ,，,AR,EQ,，,E,，,Q,分别为,SA,，,AD,的中点，,EQ,SD,，则,AR,SD,，,在,Rt,ASD,中，,AS,4,，,AD,2,，,14.(202,2,绍兴模拟,),如图，在,ABC,中，,AD,BC,，垂足为,D,，,DE,AB,，垂足为,E,.,现将,ABC,沿,AD,折起，使得,BC,BD,，若三棱锥,A,BCD,外,接球,的,球心为,O,，半径为,1,，则,DOE,面积的最大值为,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图所示，取,AC,的中点,F,，,DC,的中点,G,，连接,EF,，,DF,，,FG,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,FG,AD,，,BC,BD,，,G,到,B,，,C,，,D,的距离相等，,同理,F,到,A,，,C,，,D,的距离相等，,AD,DC,，,AD,BD,，,BD,DC,D,，,BD,，,DC,平面,BCD,，,AD,平面,BCD,，,FG,平面,BCD,，且,FD,FB,FC,FA,，,F,即为三棱锥,A,BCD,外接球的球心,O,，,AD,平面,BCD,，,AD,BC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,BC,BD,，,AD,BD,D,，,AD,，,BD,平面,ABD,，,BC,平面,ABD,，,BC,DE,，,DE,AB,，,AB,BC,B,，,AB,，,BC,平面,ABC,，,DE,平面,ABC,，,DE,EF,，,DE,2,EF,2,DF,2,，,又,DF,1,，,DE,2,EF,2,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当,DE,EF,时等号成立，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于选项,A,，当,1,时，点,P,在棱,CC,1,上运动，如图,1,所示，,对于选项,B,，当,1,时，点,P,在棱,B,1,C,1,上运动，如图,2,所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,图,1,图,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法一,由多选题特征，排除,A,，,C,，故选,BD.,方法二,对于选项,D,，易知四边形,ABB,1,A,1,为正方形，所以,A,1,B,AB,1,，设,AB,1,与,A,1,B,交于点,K,，连接,PK,，要使,A,1,B,平面,AB,1,P,，需,A,1,B,KP,，所以点,P,只能是棱,CC,1,的中点，故选项,D,正确,.,16.,如图,(1),，在平面四边形,ABDC,中，,ABC,D,90,，,AB,BC,2,，,CD,1,，将,ABC,沿,BC,边折起如图,(2),，使,_,，点,M,，,N,分别为,AC,，,AD,的中点,.,在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题,.,AD,，,AC,为四面体,ABDC,外接球的直径，,平面,ABC,平面,BCD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,图,(1),图,(2),(1),判断直线,MN,与平面,ABD,的位置关系，并说明理由；,又由,AB,2,，所以,AB,2,BD,2,AD,2,，,所以,AB,BD,，,因为,AB,BC,，且,BC,BD,B,，,BC,，,BD,平面,CBD,，,所以,AB,平面,CBD,，,又因为,CD,平面,CBD,，所以,AB,CD,，,又由,CD,BD,，,AB,BD,B,，且,AB,，,BD,平面,ABD,，,所以,CD,平面,ABD,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,因为,M,，,N,分别为,AC,，,AD,的中点,，,所以,MN,CD,，所以,