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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,青岛科技大学,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,青岛科技大学信息与计算科学专业基础课程,数学分析,主讲：李博 苏鸿雁,青岛科技大学,1/79,数学中转折点是,笛卡儿,变数,.,有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成,为必要了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,下页,2/79,给出了几何问题统一,笛卡儿,(15961650),法国哲学家,数学家,物理学家,他,是解析几何奠基人之一.,1637年他发,表几何学论文分析了几何学与,代数学优缺点,进而提出了“另外,一个包含这两门科学优点而防止其缺点方法”,从而提出了解析几何学主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中转折点.,把几何问题化成代数问题,作图法,下页,3/79,一门科学,只有当它成功地利用数课时,才能到达真正完善地步.,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.,聪明在于学习,天才在于积累.,学而优则用,学而优则创.,由薄到厚,由厚到薄.,华罗庚,下页,4/79,华罗庚,(19101985),我国在国际上享受盛誉数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛数学领域中,程,都作出了卓越贡献,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,经典群,他对青年学生成长非常关心,他提出治学之道是,“,宽,专,漫,”,即基础要宽,专业要专,要使自己专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词:“,学而优则用,学而优则创,”.,下页,5/79,什么是,数学分析,?,“,数学分析”是数学、信息与计算科学专业等综合院校最主要专业基础课之一，其内容不不过数学理论基础，而且是当代科学基石,。,下页,6/79,a.数学分析主要内容:,微积分,研究对象:,函数,b.初等数学:,主要是离散量运算体系(加,减,乘,除),连续量随另外一个连续量连续地改变(函数概念).,连续量运算体系及其数学理论(微积分),c.两种体系区分.,初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限概念),绪 论,下页,7/79,初、高中：从填鸭式 启发式,以教师为主,强烈地依赖于教师。,大学：从启发式 个人自发,以学生本身为,主，教师引导。,e.微积分发展历史,15世纪以前是它概念萌芽时期，主要是阿基米德（Archimedes公元前287212)穷竭法和,刘徽,割圆术,d.学习方法不一样,下页,8/79,刘徽,(约225 295年),我国古代魏末晋初出色数学家.,他撰写重,差对九章算术中方法和公式作了全方面评,注,指出并纠正了其中错误,在数学方法和数学,理论上作出了出色贡献.,他“割圆术”求圆周率,“,割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“,用已知迫近未知,用近似迫近准确,”,主要,极限思想.,方法:,下页,9/79,数学基本完成时期，也是变量数学酝酿时期,微积分正式进入了酝酿阶段,16世纪前后约2时间是古已经有之常量,17世纪上半叶，微积分奠基工作在紧锣密鼓,地进行着，最主要先驱有法国帕斯卡（Pascal,1623-1662)和费马（Fermat16011665），英国,16301677）,瓦里士（Wallis16161703）和 巴罗（Barrow,下页,10/79,莱布尼兹Leibniz(1646-1716)在前人基础上创,18世纪是关于微积分基础讨论和研究,19世纪，从形式演算 严格科学体系，,17世纪下半叶，牛顿（Newton 1642-1727)和,立了微积分及其演算体系,时期,波尔察诺（Bolzano 1781-1848），,下页,11/79,实数理论为基础,演算体系,极限概念刻划,基石,：,实数连续统,学习目标,：,掌握微积分，极限，实数 连续 统概念,和方法，更主要是，培养自己主动思索,问题和处理问题能力。,微积分是以极限论作为基础,，而极限论又以,下页,12/79,定了严格分析学基础，,戴德金,（Dedekind 1831-1916）和,康托,（Cantor 1845-1918）等1872年建立了严格,实数系理论微积分严密化任务终于在,他们手中完成了,哥西,(Cauchy 1789-1857)，,维尔斯特拉斯,（Weierstr-ass 1815-1897）等数学家给出了,分析学一系列基本概念准确定义，从而奠,下页,13/79,参考书目：,1数学分析高等教育出版社，刘玉琏、刘伟等著,2数学分析习题课讲义(共2册)谢惠民等著,3.数学分析习题集前苏联吉米多维奇著,4.数学分析华东师范大学著,下页,14/79,1 掌握函数概念及表示方法；,2 了解函数单调性、有界性、奇,偶性、周期性等基本性质；,3 了解复合函数、反函数、基本初,等函数、初等函数等概念。,第一章 变量与函数,教学目标：,下页,15/79,第一篇极限论,第一部分极限初论,第一章,变量与函数,主要内容：,1.函数概念,2.复合函数和反函数,3.基本初等函数,下页,16/79,一、变量,1.函数概念,1、常量与变量,在某过程中数值保持不变量称为,常量,而数值改变量称为,变量,.,注意,常量与变量是相对“过程”而言.,常量与变量表示方法：,通惯用字母,a,b,c,等表示常量,用字母,x,y,t,等表示,变量.,下页,17/79,2.,有理数和无理数,有理数:,无理数,:,无限不循环小数.,实数性质:,(a)实数与数轴上点一一对应.,(b)有理数和无理数在实数中都是稠密.,(c),下页,18/79,集合,含有某种特定性质事物,总体.,组成这个集合事物称为该集合,元素,.,有限集,无限集,附注：,下页,19/79,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间关系:,比如,不含任何元素集合称为,空集.,比如,要求,空集为任何集合子集.,下页,20/79,3、区间:,是指介于某两个实数之间全体实数.这两个实数叫做区间端点.,称为开区间,称为闭区间,下页,21/79,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度定义:,两端点间距离(线段长度)称为区间长度.,下页,22/79,4、邻域:,下页,23/79,二、函数,（特殊,映射,）,例 圆内接正多边形周长,圆内接正,n,边形,O,r,),下页,24/79,称为,一元函数,，简称,函数,.,记作:,自变量,比如,点集,称为函数,y=f,(,x,),图形,.,因变量,自变量,定义域,1.定义,下页,25/79,函数两要素:,定义域与对应法则,.,注,:,定义域是自变量所能取使算式有意义一切实数值.,下页,26/79,注：,函数相等与不等,注：,分清和“函数值相等与不等”。,下页,27/79,关于函数定义几点说明:,下页,28/79,下页,29/79,2、函数表示,(1)分段表示,设,A,B,是两个互不相交实数集合，,是分别定义在集合A和集合B上函数，则,是定义在集合,这么表示方法,称为,函数分段表示,.,下页,30/79,在自变量不一样改变范围中,对应法则用不一样,式子来表示函数,称为,分段函数,.,下页,也定义为：,31/79,经过方程,F,(,x,y,),=,0,来确定变量,x,与,y,之间函数,关系方式称为,函数隐式表示,.,下页,(2)隐式表示,或称,32/79,例1.,函数有时可由方程确定.,如,下页,33/79,(3)参数表示,经过建立变量,t,与,x，t,与,y,之间函数关系，间接,确实定,x,与,y,之间函数关系.,即,这种表示法称为,函数参数表示,.,下页,34/79,(1)符号函数,3、几个特殊函数举例,1,-1,x,y,o,下页,35/79,(2)取整函数,y=,x,x,表示不超出 最大整数,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,下页,36/79,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,下页,37/79,有理数点,无理数点,1,x,y,o,(3)狄利克雷函数,(,Dirichlet,),下页,38/79,(4)取最值函数,y,x,o,y,x,o,下页,39/79,1函数单调性:,x,y,o,三、函数一些几何特征,下页,40/79,x,y,o,下页,41/79,2函数奇偶性:,下页,42/79,x,y,x,o,-,x,x,y,o,x,-,x,43/79,3函数周期性:,（通常说周期函数周期是指其最小正,周期,）.,下页,44/79,4、有界性,定义,若存在两个常数,m,和,M,使函数,y,=,f,(,x,),则称函数,f,在,D,上,有界,.其中,m,是它下界，,M,是它,上界.,不然称,无界,下页,45/79,X,-X,y,x,o,y=f(x),X,-X,y,x,o,下页,46/79,例2,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,下页,47/79,小 结,函数概念，函数表示，几个特殊函数,函数特征,：有界性,单调性,奇偶性,周期性,常量与变量,下页,48/79,思索题,下页,49/79,思索题解答,设,则,故,下页,50/79,-M,y,M,x,o,y=f(x),X,有界函数,下页,附注：,1.,有界函数,若函数,),(,x,f,在定义域,D,上现有上界又有下界，则称,f,为,D,上,有,界函数。这个定义显然等价于，对一切,D,x,，恒有,K,x,f,|,),(,|,有界函数几何意义,51/79,M,-M,x,o,X,y,无界函数,下页,请同学们利用有界函数定义给出无界函数定义,。,例,),0,(,sin,),(,+,=,x,x,x,x,f,是无界函数。,证,明,对,任意,0,M,，存在,M,n,n,+,2,2,:,p,p,，取,2,2,p,p,+,=,n,x,m,，,则,52/79,x,y,o,x,y,o,下页,53/79,o,-2,-4,2,4,-2,2,4,-4,下页,奇函数与偶函数,（,1,）定义域关于原点对称,（,2,）奇函数（偶函数）对任何,D,x,有,),(,),(,x,f,x,f,-,=,-,，,（,),(,),(,x,f,x,f,=,-,）,54/79,奇函数,y,x,o,x,-,x,下页,clf,x=,-,2:1/20:2;y1=x.3;y,2,=x.2,-,1;,subplot(,1,2,1),plot(x,y1,r,linewidth,2),hold on,55/79,下页,56/79,下页,57/79,下页,58/79,下页,59/79,下页,60/79,o,-2,-4,2,4,-2,1,下页,61/79,下页,62/79,返回,63/79,二、映射,1.映射概念,某校学生集合,学号集合,按一定规则查号,某班学生集合,某教室座位,集合,按一定规则入座,引例1.,下页,64/79,引例2.,引例3.,(,点集),(,点集),向,y,轴投影,下页,65/79,定义1：,设,X,Y,是两个非空集合,若存在一个对应规,则,f,使得,有唯一确定,与之对应,则,称,f,为从,X,到,Y,映射,记作,元素,y,称为元素,x,在映射,f,下,像,记作,元素,x,称为元素,y,在映射,f,下,原像,.,集合,X,称为映射,f,定义域,;,Y,子集,称为,f,值域,.,注意:,1)映射三要素 定义域,对应规则,值域.,2)元素,x,像,y,是唯一,但,y,原像不一定唯一.,下页,66/79,例1.2.1设X是平面上全部三角形全体，Y是平面上全部圆全体，因每个三角形都有唯一确定外接圆，若定义对应规则,是三角形,外接圆）,则,显然是一个映射，其定义域与值域,分别为,和,例1.2.2记,且,下面所要求对应关系,也是一个映射：,下页,67/79,2）映射要求元素象必须是唯一.,例1.2.3设,则对应关系,是一个映射,3）映射并不要求逆象也含有唯一性.,例1.2.4设,是一个映射,下页,68/79,对映射,若,则称,f,为,满射,;,若,有,则称,f,为,单射;,若,f,既是满射又是单射,则称,f,为,双射,或,一一映射,.,引例2,3,引例2,引例2,下页,69/79,例,1.2.5,海伦公式,例,1.2.6,如图所表示,对应阴影部分面积,则在数集,本身之间定义了一个映射,(满射),例,1.2.7,如图所表示,则有,(满射),(满射),下页,70/79,X,(数集 或点集,),说明:,在不一样数学分支中有不一样惯用,X,(,),Y,(数集),f,称为,X,上,泛函,X,(,),X,f,称为,X,上,变换,R,f,称为定义在,X,上,为,函数,映射又称为,算子,.,名称.比如,下页,71/79,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,逆映射记成,比如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为,f,逆映射.,下页,72/79,(,2)复合映射,手电筒,D,引例.,复合映射,下页,73/79,和,那就能够结构出一个新映射,称为,f,和,g,复合映射,.,定义：,下页,74/79,注意:,组成复合映射条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射情形.,下页,75/79,于是,若,例1.2.8:,设,则:,下页,76/79,尤其,经过复合运算，可得到恒等式,例1.2.9,它逆映射是,是双射，,下页,77/79,作业,P15(12)、（16）、（23）,P21（1）、（4）、（6）、（7）,P29（1）、（5）、（10）、（11）,78/79,好 好 学 习 天 天 向 上,The Class is over.Goodbye!,79/79,
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